Номер 5.6, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Понятие логарифма. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.6, страница 150.

Вычислите (5.6—5.8):

5.6 a) $ \log_e e; $ б) $ \log_e e^2; $ в) $ \log_e \frac{1}{e}; $ г) $ \ln e; $ д) $ \ln e^3; $
е) $ \ln \frac{1}{e}; $ ж) $ \ln e^n; $ з) $ \ln \sqrt{e}; $ и) $ \ln \sqrt[3]{\frac{1}{e}}. $

а) По определению логарифма, $\log_b a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. В данном случае основание $b=e$ и число $a=e$. Искомая степень $x$ такова, что $e^x=e$, откуда $x=1$. Также можно применить основное логарифимическое свойство $\log_b b=1$.
$\log_e e = 1$.
Ответ: $1$.

б) Используем свойство логарифма $\log_a a^x = x$. В данном случае основание $a=e$, а показатель степени $x=2$.
$\log_e e^2 = 2$.
Альтернативно, можно вынести показатель степени за знак логарифма, используя свойство $\log_a b^p = p \log_a b$:
$\log_e e^2 = 2 \cdot \log_e e = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $2$.

в) Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.
Тогда выражение примет вид: $\log_e \frac{1}{e} = \log_e(e^{-1})$.
По свойству $\log_a a^x = x$ получаем: $\log_e(e^{-1}) = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Натуральный логарифм $\ln x$ — это стандартное обозначение для логарифма по основанию $e$, то есть $\ln x = \log_e x$.
Следовательно, $\ln e = \log_e e$.
Как известно из свойства $\log_b b = 1$, значение этого выражения равно $1$.
$\ln e = 1$.
Ответ: $1$.

д) Выражение $\ln e^3$ является натуральным логарифмом от $e$ в третьей степени. Используя свойство $\ln e^x = x$, где $x=3$, получаем:
$\ln e^3 = 3$.
Ответ: $3$.

е) Преобразуем выражение под знаком натурального логарифма: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.
Тогда $\ln \frac{1}{e} = \ln(e^{-1})$.
Используя свойство $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{-1}) = -1$.
Ответ: $-1$.

ж) По основному свойству натурального логарифма $\ln e^x = x$.
В данном случае в качестве показателя степени выступает $n$, поэтому:
$\ln e^n = n$.
Ответ: $n$.

з) Представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{e} = e^{1/2}$.
Тогда $\ln \sqrt{e} = \ln(e^{1/2})$.
По свойству $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

и) Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Дробь $\frac{1}{e}$ можно записать как $e^{-1}$.
Затем представим корень третьей степени в виде степени с показателем $\frac{1}{3}$: $\sqrt[3]{\frac{1}{e}} = \sqrt[3]{e^{-1}} = (e^{-1})^{1/3} = e^{-1/3}$.
Таким образом, необходимо вычислить $\ln(e^{-1/3})$.
По свойству $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{-1/3}) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.