Страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.1°

a) Что называют логарифмом положительного числа b по основанию a ($a > 0$, $a \ne 1$)?

б) Существует ли логарифм нуля; отрицательного числа?

а) Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называют показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
Запись $\log_a b = c$ является равносильной записи $a^c = b$.
Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.
Из определения следуют основные ограничения для логарифма:
1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $a > 0, a \neq 1$.

Ответ: Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ ($a > 0, a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

б) В области действительных чисел логарифм нуля и логарифм отрицательного числа не существуют. Это следует из определения логарифма.
Логарифм нуля: Предположим, что $\log_a 0 = c$. Это означало бы, что $a^c = 0$. Однако, по определению, основание $a$ является положительным числом. Любое положительное число, возведенное в любую действительную степень, всегда будет положительным числом. Не существует такого действительного числа $c$, для которого $a^c$ было бы равно нулю.
Логарифм отрицательного числа: Аналогично, предположим, что $\log_a b = c$, где $b < 0$. Это означало бы, что $a^c = b$. Но, как было сказано выше, положительное число $a$ в любой действительной степени $c$ всегда дает положительный результат ($a^c > 0$) и никогда не может быть равным отрицательному числу $b$.
Таким образом, операция логарифмирования определена только для положительных чисел.

Ответ: Нет, логарифм нуля и логарифм отрицательного числа не существуют.

5.2 Докажите, что:

а) $\log_2 8 = 3;$

б) $\log_5 \frac{1}{25} = -2;$

в) $\log_{0,1} 1 = 0.$

а) Чтобы доказать равенство $\log_2 8 = 3$, необходимо воспользоваться определением логарифма. Согласно определению, равенство $\log_a b = c$ истинно, если выполняется равенство $a^c = b$ (где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$).
В данном случае основание $a = 2$, число под знаком логарифма $b = 8$, а значение логарифма $c = 3$.
Подставим эти значения в эквивалентное степенное равенство: $2^3 = 8$.
Проверим его истинность: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Поскольку $8 = 8$, равенство верно, что и доказывает исходное утверждение.
Ответ: Равенство $\log_2 8 = 3$ доказано, так как $2^3 = 8$.

б) Для доказательства равенства $\log_5 \frac{1}{25} = -2$ применим то же определение логарифма: $\log_a b = c$ равносильно $a^c = b$.
Здесь основание $a = 5$, число $b = \frac{1}{25}$, а значение логарифма $c = -2$.
Проверим соответствующее степенное равенство: $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = \frac{1}{x^n}$): $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Равенство $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$ является верным, следовательно, исходное утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\log_5 \frac{1}{25} = -2$ доказано, так как $5^{-2} = \frac{1}{25}$.

в) Чтобы доказать равенство $\log_{0,1} 1 = 0$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В этом примере основание $a = 0,1$, число $b = 1$, а значение логарифма $c = 0$.
Проверим, выполняется ли равенство $(0,1)^0 = 1$.
Согласно свойству степени, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($x^0 = 1$ при $x \ne 0$). Так как $0,1 \ne 0$, то $(0,1)^0 = 1$.
Равенство $1 = 1$ является верным, что и доказывает исходное утверждение.
Ответ: Равенство $\log_{0,1} 1 = 0$ доказано, так как $(0,1)^0 = 1$.

Вычислите (5.3–5.4):

5.3 а) $ \log_2 4; $ б) $ \log_2 16; $ в) $ \log_3 3; $ г) $ \log_3 27; $ д) $ \log_4 1; $
е) $ \log_5 \frac{1}{5}; $ ж) $ \log_{10} 100; $ з) $ \log_5 5^3; $ и) $ \log_7 7^5. $

а) Логарифм $\log_2 4$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 4. Так как $2^2 = 4$, то искомый показатель степени равен 2. Можно также представить 4 как степень 2 и использовать свойство логарифма $\log_a a^p = p$: $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$. Ответ: 2

б) Логарифм $\log_2 16$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 16. Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Используя свойство $\log_a a^p = p$, получаем: $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$. Ответ: 4

в) Логарифм $\log_3 3$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 3. Так как $3^1 = 3$, искомый показатель равен 1. Это также следует из свойства логарифма $\log_a a = 1$. $\log_3 3 = 1$. Ответ: 1

г) Логарифм $\log_3 27$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 27. Представим 27 как степень тройки: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$. Следовательно: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$. Ответ: 3

д) Логарифм $\log_4 1$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 4, чтобы получить число 1. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $4^0 = 1$. Это также следует из свойства логарифма $\log_a 1 = 0$ (для $a>0, a \neq 1$). $\log_4 1 = 0$. Ответ: 0

е) Логарифм $\log_5 \frac{1}{5}$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число $\frac{1}{5}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Следовательно: $\log_5 \frac{1}{5} = \log_5 5^{-1} = -1$. Ответ: -1

ж) Логарифм $\log_{10} 100$ (десятичный логарифм) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить число 100. Так как $100 = 10^2$, то: $\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$. Ответ: 2

з) Для вычисления $\log_5 5^3$ используем основное свойство логарифма: $\log_a a^p = p$. В данном случае основание логарифма $a=5$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма, а показатель степени $p=3$. Таким образом: $\log_5 5^3 = 3$. Ответ: 3

и) Аналогично предыдущему пункту, для вычисления $\log_7 7^5$ используем свойство $\log_a a^p = p$. Здесь основание $a=7$ и показатель степени $p=5$. Таким образом: $\log_7 7^5 = 5$. Ответ: 5

5.4 a) $2^{\log_2 3};$

б) $3^{\log_3 5};$

в) $7^{\log_7 9};$

г) $2^{\log_2 3 + \log_2 5};$

д) $(3^{\log_3 7})^2;$

е) $(3^2)^{\log_3 7};$

ж) $7^{2 \log_7 3};$

з) $10^{3 \log_{10} 5};$

и) $0,1^{2 \log_{0,1} 10}.$

а) Выражение $2^{\log_2 3}$ вычисляется с использованием основного логарифмического тождества: $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a=2$ совпадает с основанием логарифма, а подлогарифмическое выражение $b=3$.
$2^{\log_2 3} = 3$.
Ответ: 3

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Здесь $a=3$ и $b=5$.
$3^{\log_3 5} = 5$.
Ответ: 5

в) Снова используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Здесь $a=7$ и $b=9$.
$7^{\log_7 9} = 9$.
Ответ: 9

г) Выражение $2^{\log_2 3 + \log_2 5}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.
$\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 15$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2^{\log_2 15}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$2^{\log_2 15} = 15$.
Ответ: 15

д) В выражении $(3^{\log_3 7})^2$ сначала упростим то, что в скобках, используя основное логарифмическое тождество:
$3^{\log_3 7} = 7$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$7^2 = 49$.
Ответ: 49

е) Для выражения $(3^2)^{\log_3 7}$ воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^2)^{\log_3 7} = 3^{2 \cdot \log_3 7}$.
Теперь используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, чтобы внести множитель 2 в показатель подлогарифмического выражения:
$3^{2 \log_3 7} = 3^{\log_3 (7^2)} = 3^{\log_3 49}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$3^{\log_3 49} = 49$.
Ответ: 49

ж) В выражении $7^{2 \log_7 3}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_7 3 = \log_7 (3^2) = \log_7 9$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$7^{\log_7 9}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 9} = 9$.
Ответ: 9

з) В выражении $10^{3 \log_{10} 5}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$3 \log_{10} 5 = \log_{10} (5^3) = \log_{10} 125$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$10^{\log_{10} 125}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$10^{\log_{10} 125} = 125$.
Ответ: 125

и) В выражении $0,1^{2 \log_{0,1} 10}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_{0,1} 10 = \log_{0,1} (10^2) = \log_{0,1} 100$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$0,1^{\log_{0,1} 100}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$0,1^{\log_{0,1} 100} = 100$.
Ответ: 100

5.5° Логарифм по какому основанию называют:

а) натуральным;

б) десятичным?

Как обозначают эти логарифмы?

а) натуральным

Натуральным логарифмом называют логарифм по основанию e. Число e — это иррациональная математическая константа, называемая числом Эйлера, которая является основанием показательной функции $y=e^x$. Свое название «натуральный» этот логарифм получил потому, что он часто возникает естественным образом при решении задач математического анализа, например, при описании непрерывного роста, в теории вероятностей и дифференциальных уравнениях. Приблизительное значение константы $e \approx 2.71828$.
Натуральный логарифм числа $x$ обозначается как $\ln x$ (от лат. logarithmus naturalis). Эта запись является общепринятым сокращением для $\log_e x$.

Ответ: натуральным называют логарифм по основанию $e \approx 2.71828$; его обозначают как $\ln x$.

б) десятичным

Десятичным логарифмом называют логарифм по основанию 10. Его название связано с тем, что в повседневной жизни и большинстве вычислений мы используем десятичную систему счисления. Исторически десятичные логарифмы были особенно важны для проведения сложных расчетов (умножения, деления, извлечения корней) с помощью логарифмических таблиц и линеек.
Десятичный логарифм числа $x$ принято обозначать как $\lg x$. Таким образом, запись $\lg x$ эквивалентна записи $\log_{10} x$. Иногда (особенно на клавиатуре калькуляторов) можно встретить обозначение $\log x$, которое также подразумевает логарифм по основанию 10.

Ответ: десятичным называют логарифм по основанию 10; его обозначают как $\lg x$.

Вычислите (5.6—5.8):

5.6 a) $ \log_e e; $ б) $ \log_e e^2; $ в) $ \log_e \frac{1}{e}; $ г) $ \ln e; $ д) $ \ln e^3; $
е) $ \ln \frac{1}{e}; $ ж) $ \ln e^n; $ з) $ \ln \sqrt{e}; $ и) $ \ln \sqrt[3]{\frac{1}{e}}. $

а) По определению логарифма, $\log_b a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. В данном случае основание $b=e$ и число $a=e$. Искомая степень $x$ такова, что $e^x=e$, откуда $x=1$. Также можно применить основное логарифимическое свойство $\log_b b=1$.
$\log_e e = 1$.
Ответ: $1$.

б) Используем свойство логарифма $\log_a a^x = x$. В данном случае основание $a=e$, а показатель степени $x=2$.
$\log_e e^2 = 2$.
Альтернативно, можно вынести показатель степени за знак логарифма, используя свойство $\log_a b^p = p \log_a b$:
$\log_e e^2 = 2 \cdot \log_e e = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $2$.

в) Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.
Тогда выражение примет вид: $\log_e \frac{1}{e} = \log_e(e^{-1})$.
По свойству $\log_a a^x = x$ получаем: $\log_e(e^{-1}) = -1$.
Ответ: $-1$.

г) Натуральный логарифм $\ln x$ — это стандартное обозначение для логарифма по основанию $e$, то есть $\ln x = \log_e x$.
Следовательно, $\ln e = \log_e e$.
Как известно из свойства $\log_b b = 1$, значение этого выражения равно $1$.
$\ln e = 1$.
Ответ: $1$.

д) Выражение $\ln e^3$ является натуральным логарифмом от $e$ в третьей степени. Используя свойство $\ln e^x = x$, где $x=3$, получаем:
$\ln e^3 = 3$.
Ответ: $3$.

е) Преобразуем выражение под знаком натурального логарифма: $\frac{1}{e} = e^{-1}$.
Тогда $\ln \frac{1}{e} = \ln(e^{-1})$.
Используя свойство $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{-1}) = -1$.
Ответ: $-1$.

ж) По основному свойству натурального логарифма $\ln e^x = x$.
В данном случае в качестве показателя степени выступает $n$, поэтому:
$\ln e^n = n$.
Ответ: $n$.

з) Представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{e} = e^{1/2}$.
Тогда $\ln \sqrt{e} = \ln(e^{1/2})$.
По свойству $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

и) Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Дробь $\frac{1}{e}$ можно записать как $e^{-1}$.
Затем представим корень третьей степени в виде степени с показателем $\frac{1}{3}$: $\sqrt[3]{\frac{1}{e}} = \sqrt[3]{e^{-1}} = (e^{-1})^{1/3} = e^{-1/3}$.
Таким образом, необходимо вычислить $\ln(e^{-1/3})$.
По свойству $\ln e^x = x$, получаем: $\ln(e^{-1/3}) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

5.7 a) $\log_{10} 10$;

б) $\log_{10} 100$;

в) $\log_{10} 0,1$;

г) $\lg 10$;

д) $\lg 1000$;

е) $\lg 0,01$;

ж) $\lg 10^n$;

з) $\lg \sqrt{10}$;

и) $\lg \sqrt[3]{0,01}$.

а) Десятичный логарифм $log_{10} 10$ по определению является степенью, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить число 10. Так как $10^1 = 10$, то значение логарифма равно 1. Ответ: 1

б) Чтобы найти $log_{10} 100$, нужно определить, в какую степень следует возвести 10, чтобы получить 100. Мы знаем, что $100 = 10^2$. Следовательно, $log_{10} 100 = log_{10} 10^2 = 2$. Ответ: 2

в) Для вычисления $log_{10} 0,1$ представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$. Таким образом, $log_{10} 0,1 = log_{10} 10^{-1} = -1$. Ответ: -1

г) Запись $lg$ — это стандартное обозначение десятичного логарифма, то есть $lg \, x = log_{10} x$. Поэтому $lg \, 10$ это то же самое, что и $log_{10} 10$. Как и в пункте а), $lg \, 10 = 1$. Ответ: 1

д) Вычисляем $lg \, 1000$. Для этого представим 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$. Тогда $lg \, 1000 = lg \, 10^3 = 3$. Ответ: 3

е) Вычисляем $lg \, 0,01$. Представим 0,01 в виде степени с основанием 10: $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Следовательно, $lg \, 0,01 = lg \, 10^{-2} = -2$. Ответ: -2

ж) Для вычисления $lg \, 10^n$ воспользуемся свойством логарифма $log_a a^x = x$. В нашем случае основание логарифма равно 10, и число под логарифмом также представлено как степень 10. Поэтому $lg \, 10^n = n$. Ответ: $n$

з) Чтобы найти $lg \sqrt{10}$, сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Квадратный корень можно представить в виде степени $\frac{1}{2}$: $\sqrt{10} = 10^{1/2}$. Тогда $lg \sqrt{10} = lg \, 10^{1/2} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

и) Для вычисления $lg \sqrt[3]{0,01}$ преобразуем выражение под логарифмом. Сначала $0,01 = 10^{-2}$. Затем кубический корень: $\sqrt[3]{0,01} = (0,01)^{1/3} = (10^{-2})^{1/3}$. По свойству степеней $(a^m)^n=a^{mn}$, получаем $10^{-2/3}$. Таким образом, $lg \sqrt[3]{0,01} = lg \, 10^{-2/3} = -\frac{2}{3}$. Ответ: $-\frac{2}{3}$

5.8 a) $\log_2 2^3$;

б) $\log_5 5^7$;

в) $\log_9 9^{1999}$;

г) $2^{\log_2 5}$;

д) $3^{\log_3 90}$;

е) $5^{\log_5 \frac{1}{2}}$;

ж) $e^{\ln 3}$;

з) $e^{2 \ln 5}$;

и) $e^{-2 \ln 3}$;

к) $10^{\lg 3}$;

л) $10^{2 \lg 3}$;

м) $10^{-3 \lg 2}$.

а) Для решения используем свойство логарифма $\log_a a^b = b$. В данном случае основание логарифма и основание степени внутри логарифма совпадают (равны 2).
$\log_2 2^3 = 3$
Ответ: 3

б) Аналогично пункту а), используем свойство $\log_a a^b = b$.
$\log_5 5^7 = 7$
Ответ: 7

в) Используем то же свойство логарифма $\log_a a^b = b$.
$\log_9 9^{1999} = 1999$
Ответ: 1999

г) Для решения используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
$2^{\log_2 5} = 5$
Ответ: 5

д) Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$3^{\log_3 90} = 90$
Ответ: 90

е) Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{\log_5 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Натуральный логарифм $\ln$ — это логарифм по основанию $e$. Таким образом, $\ln 3 = \log_e 3$. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$e^{\ln 3} = e^{\log_e 3} = 3$
Ответ: 3

з) Сначала используем свойство степени логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество.
$e^{2 \ln 5} = e^{\ln 5^2} = e^{\ln 25}$
Теперь, как и в пункте ж), $e^{\ln 25} = 25$.
Ответ: 25

и) Используем те же свойства, что и в пункте з).
$e^{-2 \ln 3} = e^{\ln 3^{-2}} = e^{\ln \frac{1}{3^2}} = e^{\ln \frac{1}{9}}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $e^{\ln \frac{1}{9}} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

к) Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10. Таким образом, $\lg 3 = \log_{10} 3$. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$10^{\lg 3} = 10^{\log_{10} 3} = 3$
Ответ: 3

л) Сначала используем свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество.
$10^{2 \lg 3} = 10^{\lg 3^2} = 10^{\lg 9}$
Теперь, как и в пункте к), $10^{\lg 9} = 9$.
Ответ: 9

м) Используем те же свойства, что и в пункте л).
$10^{-3 \lg 2} = 10^{\lg 2^{-3}} = 10^{\lg \frac{1}{2^3}} = 10^{\lg \frac{1}{8}}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $10^{\lg \frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

5.9* ИССЛЕДУЕМ Может ли быть рациональным числом; иррациональным числом:

а) рациональная степень рационального числа;

б) иррациональная степень рационального числа;

в) рациональная степень иррационального числа;

г) иррациональная степень иррационального числа?

а) рациональная степень рационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Для ответа на этот вопрос нужно привести примеры для обоих случаев.

1. Может ли быть рациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 4 и рациональную степень $1/2$.
$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 2 и рациональную степень $1/2$.
$2^{1/2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

б) иррациональная степень рационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $2^{\log_2 3}$. Основание 2 — рациональное число. Показатель степени $\log_2 3$ является иррациональным числом (доказывается от противного: если бы $\log_2 3 = p/q$, то $2^{p/q}=3$, или $2^p = 3^q$, что невозможно для целых $p, q$, кроме $p=q=0$).
Результат вычисления: $2^{\log_2 3} = 3$. Число 3 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, рассмотрим число $2^{\sqrt{2}}$. Основание 2 — рациональное, а показатель $\sqrt{2}$ — иррациональное. По теореме Гельфонда-Шнайдера, это число является трансцендентным, а значит, и иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

в) рациональная степень иррационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень 2.
$(\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень $1/2$.
$(\sqrt{2})^{1/2} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$. Число $\sqrt[4]{2}$ является иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

г) иррациональная степень иррационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$. Мы не знаем, является ли это число рациональным или иррациональным. Разберем два случая:
• Случай 1: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — рациональное. Тогда мы нашли пример: иррациональное основание $\sqrt{2}$ в иррациональной степени $\sqrt{2}$ дает рациональный результат.
• Случай 2: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — иррациональное. Тогда возведем это иррациональное число в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2$.
В этом случае мы получили рациональное число 2, возведя иррациональное число $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})$ в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
В любом из двух случаев существует пример, когда иррациональная степень иррационального числа является рациональным числом.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Как было показано выше, число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ (известное как постоянная Гельфонда-Шнайдера) на самом деле является иррациональным (и даже трансцендентным). Это и есть пример иррационального числа, полученного возведением иррационального числа в иррациональную степень.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.