Страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.61 a) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x;$

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x};$

В) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|};$

г) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2};$

д) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x+1};$

е) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|+2};$

ж) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3;$

з) $y = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^x - 2\right|.$

а) $y = (\frac{1}{2})^x$
Это график показательной функции с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
Основные свойства:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{2})^0 = 1$.
4. Горизонтальная асимптота: ось $Ox$ (прямая $y=0$), так как при $x \to +\infty$, $y \to 0$.
Ответ: График представляет собой стандартную убывающую показательную функцию, проходящую через точку $(0,1)$ и имеющую горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = (\frac{1}{2})^{-x}$
Преобразуем функцию, используя свойство степеней: $y = (\frac{1}{2})^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^x$.
Таким образом, это график показательной функции $y = 2^x$ с основанием $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Альтернативно, график функции $y = f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ отражением относительно оси $Oy$. Следовательно, график $y = (\frac{1}{2})^{-x}$ можно получить, отразив график $y = (\frac{1}{2})^x$ из пункта а) симметрично относительно оси $Oy$.
Ответ: График функции $y = 2^x$, который является зеркальным отражением графика $y = (\frac{1}{2})^x$ относительно оси $Oy$.

в) $y = (\frac{1}{2})^{|x|}$
Данная функция является четной, так как $y(-x) = (\frac{1}{2})^{|-x|} = (\frac{1}{2})^{|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси $Oy$.
Для построения графика рассмотрим два случая:
1. При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{2})^x$. Строим эту часть графика.
2. При $x < 0$, имеем $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{2})^{-x} = 2^x$.
Таким образом, для построения нужно взять часть графика $y = (\frac{1}{2})^x$ при $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси $Oy$. График имеет "угол" в точке $(0, 1)$.
Ответ: График состоит из двух ветвей: ветви графика $y = (\frac{1}{2})^x$ для $x \ge 0$ и ветви графика $y = 2^x$ для $x < 0$, симметричных относительно оси $Oy$.

г) $y = (\frac{1}{2})^{x+2}$
График данной функции получается из графика базовой функции $y = (\frac{1}{2})^x$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x+a)$. В данном случае $a=2$.
Это преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) исходного графика на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.
Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(-2, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется на месте.
Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x$, сдвинутый на 2 единицы влево.

д) $y = (\frac{1}{2})^{-x+1}$
Преобразуем выражение в показателе степени: $y = (\frac{1}{2})^{-(x-1)} = (2^{-1})^{-(x-1)} = 2^{x-1}$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = 2^{x-1}$.
Этот график получается из графика функции $y = 2^x$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x-a)$, где $a=1$.
Это соответствует сдвигу графика $y = 2^x$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.
Точка $(0, 1)$ на графике $y=2^x$ переместится в точку $(1, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.
Ответ: График функции $y = 2^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо.

е) $y = (\frac{1}{2})^{|x|+2}$
Используя свойства степеней, преобразуем функцию: $y = (\frac{1}{2})^{|x|} \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2})^{|x|}$.
График этой функции можно получить из графика $y = (\frac{1}{2})^{|x|}$ (из пункта в)) путем вертикального сжатия.
Преобразование $f(x) \to k \cdot f(x)$ при $0 < k < 1$ соответствует сжатию графика к оси $Ox$ в $1/k$ раз. В нашем случае $k = 1/4$, поэтому происходит сжатие в 4 раза.
Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = (\frac{1}{2})^{|x|}$ переходит в точку $(x_0, \frac{1}{4}y_0)$. Пиковая точка $(0, 1)$ переходит в $(0, \frac{1}{4})$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.
Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^{|x|}$, сжатый в 4 раза по вертикали к оси $Ox$.

ж) $y = (\frac{1}{2})^x - 3$
График этой функции получается из графика базовой функции $y = (\frac{1}{2})^x$ с помощью преобразования $f(x) \to f(x) + b$, где $b=-3$.
Это соответствует сдвигу (параллельному переносу) исходного графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(0, 1-3) = (0, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвинется на 3 единицы вниз и станет прямой $y=-3$.
Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^x$, сдвинутый на 3 единицы вниз.

з) $y = |(\frac{1}{2})^x - 2|$
Для построения графика выполним последовательно два преобразования:
1. Сначала построим график функции $g(x) = (\frac{1}{2})^x - 2$. Это график $y = (\frac{1}{2})^x$, сдвинутый на 2 единицы вниз. Его горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -1)$ и ось $Ox$ в точке $x=-1$ (т.к. $(\frac{1}{2})^{-1} - 2 = 2 - 2 = 0$).
2. Затем применим преобразование модуля $y = |g(x)|$. Это означает, что часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (при $x > -1$), симметрично отражается вверх относительно оси $Ox$. Часть графика, которая находится выше оси $Ox$ (при $x \le -1$), остается без изменений.
В результате точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$. Асимптота $y=-2$ для отраженной части графика "превратится" в асимптоту $y=2$ (при $x \to +\infty$). График будет иметь "угол" в точке $(-1, 0)$.
Ответ: График, полученный из графика $y = (\frac{1}{2})^x - 2$ путем отражения его отрицательной части ($y < 0$) симметрично относительно оси $Ox$.