Страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.10 Сформулируйте свойства логарифмов положительных чисел, запишите их в виде равенств.

Для логарифмов положительных чисел, где основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, а логарифмируемые числа $x, y$ положительны ($x > 0, y > 0$), справедливы следующие свойства, представленные в виде равенств:

Основное логарифмическое тождество: это равенство, которое напрямую следует из определения логарифма. Оно показывает, что операция возведения в степень с основанием $a$ и операция логарифмирования по основанию $a$ являются взаимно обратными.
Ответ: $a^{\log_a x} = x$

Логарифм произведения: логарифм произведения двух или более положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Ответ: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Логарифм частного: логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого (числителя) и делителя (знаменателя).
Ответ: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

Логарифм степени: логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм основания степени. Это свойство справедливо для любого действительного показателя степени $p$.
Ответ: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$

Формула перехода к новому основанию: данное свойство позволяет перейти от логарифма по одному основанию ($a$) к логарифму по другому основанию ($b$, где $b > 0, b \neq 1$).
Ответ: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

Следствие из формулы перехода к новому основанию: важное частное применение формулы, которое позволяет "перевернуть" логарифм, поменяв местами основание и логарифмируемое число.
Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Логарифм единицы: логарифм числа 1 по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Ответ: $\log_a 1 = 0$

Логарифм основания: логарифм числа, равного основанию, всегда равен единице, так как любое число в степени 1 равно самому себе.
Ответ: $\log_a a = 1$

Вычислите (5.11—5.18):

5.11

а) $ \log_2 4^3 $;

б) $ \log_3 9^2 $;

в) $ \log_5 25^{-1} $;

г) $ \log_7 49^4 $;

д) $ \log_4 64^{-2} $;

е) $ \log_6 36^{-4} $.

а) Для вычисления $log_2 4^3$ сначала преобразуем число под знаком логарифма. Представим $4$ как степень с основанием $2$: $4 = 2^2$.
Тогда $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$log_2 4^3 = log_2 2^6$.
Используя свойство логарифма $log_a a^x = x$, получаем:
$log_2 2^6 = 6$.
Ответ: 6

б) Для вычисления $log_3 9^2$ представим аргумент логарифма в виде степени с основанием $3$.
Поскольку $9 = 3^2$, то $9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$log_3 9^2 = log_3 3^4$.
По свойству $log_a a^x = x$, получаем:
$log_3 3^4 = 4$.
Ответ: 4

в) Для вычисления $log_5 25^{-1}$ преобразуем аргумент логарифма, приведя его к основанию $5$.
Так как $25 = 5^2$, то $25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{2 \cdot (-1)} = 5^{-2}$.
Подставляем в исходное выражение:
$log_5 25^{-1} = log_5 5^{-2}$.
Согласно свойству $log_a a^x = x$, результат равен:
$log_5 5^{-2} = -2$.
Ответ: -2

г) Для вычисления $log_7 49^4$ представим $49$ как степень с основанием $7$: $49 = 7^2$.
Тогда аргумент логарифма $49^4$ равен $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.
Исходное выражение принимает вид:
$log_7 49^4 = log_7 7^8$.
Используя свойство $log_a a^x = x$, получаем:
$log_7 7^8 = 8$.
Ответ: 8

д) Для вычисления $log_4 64^{-2}$ преобразуем аргумент логарифма, приведя его к основанию $4$.
Так как $64 = 4^3$, то $64^{-2} = (4^3)^{-2} = 4^{3 \cdot (-2)} = 4^{-6}$.
Следовательно,
$log_4 64^{-2} = log_4 4^{-6}$.
По свойству $log_a a^x = x$, получаем:
$log_4 4^{-6} = -6$.
Ответ: -6

е) Для вычисления $log_6 36^{-4}$ представим $36$ как степень с основанием $6$: $36 = 6^2$.
Тогда аргумент логарифма $36^{-4}$ равен $(6^2)^{-4} = 6^{2 \cdot (-4)} = 6^{-8}$.
Выражение принимает вид:
$log_6 36^{-4} = log_6 6^{-8}$.
Используя свойство $log_a a^x = x$, получаем:
$log_6 6^{-8} = -8$.
Ответ: -8