Страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.30 Для каких x функция $y = \log_a x (a > 1)$:

a) положительна;

б) отрицательна?

а) положительна
Чтобы функция $y = \log_a x$ была положительна, должно выполняться неравенство $y > 0$.
$\log_a x > 0$
Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно единице, поэтому $a^0 = 1$. В логарифмической форме это записывается как $\log_a 1 = 0$.
Подставим это в наше неравенство:
$\log_a x > \log_a 1$
По условию задачи, основание логарифма $a > 1$. Для логарифмической функции с основанием больше единицы характерно то, что она является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов знак неравенства сохраняется:
$x > 1$
Это решение удовлетворяет области определения логарифмической функции, согласно которой аргумент должен быть строго положительным ($x > 0$).
Ответ: $x > 1$.

б) отрицательна
Чтобы функция $y = \log_a x$ была отрицательна, должно выполняться неравенство $y < 0$.
$\log_a x < 0$
Аналогично предыдущему пункту, заменим $0$ на $\log_a 1$:
$\log_a x < \log_a 1$
Так как основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$x < 1$
При этом необходимо учитывать область определения логарифма, которая требует, чтобы аргумент был строго положительным: $x > 0$.
Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство:
$0 < x < 1$
Ответ: $0 < x < 1$.

5.31 Для каких $x$ функция $y = \log_a x$ $(0 < a < 1)$:
а) положительна;
б) отрицательна?

а) положительна

Нам нужно найти значения $x$, при которых функция $y = \log_a x$ положительна. Это означает, что мы должны решить неравенство $y > 0$, или:

$\log_a x > 0$

Прежде всего, учтем область определения логарифмической функции: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$.

Для решения неравенства представим его правую часть (число 0) в виде логарифма с тем же основанием $a$. Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a > 0, a \ne 1$) справедливо равенство $a^0 = 1$, следовательно, $0 = \log_a 1$.

Теперь наше неравенство принимает вид:

$\log_a x > \log_a 1$

По условию задачи, основание логарифма $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Убывающая функция означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому, при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов, знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Таким образом, из неравенства $\log_a x > \log_a 1$ следует, что:

$x < 1$

Теперь объединим полученное решение с областью определения $x > 0$. Мы получаем систему из двух условий: $x < 1$ и $x > 0$. Решением этой системы является интервал $0 < x < 1$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; 1)$.

б) отрицательна

Теперь найдем значения $x$, при которых функция $y = \log_a x$ отрицательна. Это означает, что мы должны решить неравенство $y < 0$, или:

$\log_a x < 0$

Как и в предыдущем случае, представим 0 как $\log_a 1$. Неравенство примет вид:

$\log_a x < \log_a 1$

Поскольку функция $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$ является убывающей, при переходе от логарифмов к их аргументам мы снова меняем знак неравенства на противоположный.

Из неравенства $\log_a x < \log_a 1$ следует, что:

$x > 1$

Это решение удовлетворяет области определения логарифма ($x > 0$).

Ответ: функция отрицательна при $x > 1$, то есть при $x \in (1; +\infty)$.

5.32 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = \log_2 x$ и $y = \log_{\frac{1}{2}} x;$

б) $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = \log_4 x$ и $y = \log_{\frac{1}{4}} x.$

Перечислите общие, различные свойства этих двух функций.

В этом задании мы построим графики пар логарифмических функций с взаимно обратными основаниями и сравним их свойства. Основное соотношение, которое мы будем использовать, это свойство логарифма: $ \log_{1/a} x = -\log_a x $. Это означает, что для каждой пары график функции с основанием $1/a$ является зеркальным отражением (симметрией) графика функции с основанием $a$ относительно оси абсцисс (Ox).

Для построения графиков сначала найдем несколько ключевых точек для каждой функции. График $y = \log_{1/2} x$ будет симметричен графику $y = \log_2 x$ относительно оси Ox.

Таблица значений для $y = \log_2 x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_2(1/4) = -2$. Точка (1/4, -2).
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_2(1/2) = -1$. Точка (1/2, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_2(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 2$, то $y = \log_2(2) = 1$. Точка (2, 1).
• Если $x = 4$, то $y = \log_2(4) = 2$. Точка (4, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/2} x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{1/2}(1/4) = 2$. Точка (1/4, 2).
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_{1/2}(1/2) = 1$. Точка (1/2, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/2}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 2$, то $y = \log_{1/2}(2) = -1$. Точка (2, -1).
• Если $x = 4$, то $y = \log_{1/2}(4) = -2$. Точка (4, -2).

Оба графика проходят через точку $(1, 0)$ и имеют вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_{1/2} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нуль функции (точка пересечения с осью Ox): $x = 1$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции не являются ни четными, ни нечетными (функции общего вида).

Различные свойства функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_{1/2} x$:

• Монотонность: функция $y = \log_2 x$ является возрастающей, а функция $y = \log_{1/2} x$ — убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_2 x$: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $0 < x < 1$.
  • Для $y = \log_{1/2} x$: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Аналогично предыдущему пункту, используем соотношение $ \log_{1/3} x = -\log_3 x $. График $y = \log_{1/3} x$ симметричен графику $y = \log_3 x$ относительно оси Ox.

Таблица значений для $y = \log_3 x$:

• Если $x = 1/3$, то $y = \log_3(1/3) = -1$. Точка (1/3, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_3(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 3$, то $y = \log_3(3) = 1$. Точка (3, 1).
• Если $x = 9$, то $y = \log_3(9) = 2$. Точка (9, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/3} x$:

• Если $x = 1/3$, то $y = \log_{1/3}(1/3) = 1$. Точка (1/3, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/3}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 3$, то $y = \log_{1/3}(3) = -1$. Точка (3, -1).
• Если $x = 9$, то $y = \log_{1/3}(9) = -2$. Точка (9, -2).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нуль функции: $x = 1$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции общего вида (не являются ни четными, ни нечетными).

Различные свойства функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$:

• Монотонность: функция $y = \log_3 x$ возрастает, а функция $y = \log_{1/3} x$ убывает.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_3 x$: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (0; 1)$.
  • Для $y = \log_{1/3} x$: $y > 0$ при $x \in (0; 1)$, $y < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

Используем то же свойство: $ \log_{1/4} x = -\log_4 x $. Графики этих функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

Таблица значений для $y = \log_4 x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_4(1/4) = -1$. Точка (1/4, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_4(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 4$, то $y = \log_4(4) = 1$. Точка (4, 1).
• Если $x = 16$, то $y = \log_4(16) = 2$. Точка (16, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/4} x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{1/4}(1/4) = 1$. Точка (1/4, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/4}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 4$, то $y = \log_{1/4}(4) = -1$. Точка (4, -1).
• Если $x = 16$, то $y = \log_{1/4}(16) = -2$. Точка (16, -2).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_4 x$ и $y = \log_{1/4} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции не являются ни четными, ни нечетными.

Различные свойства функций $y = \log_4 x$ и $y = \log_{1/4} x$:

• Монотонность: $y = \log_4 x$ — возрастающая функция; $y = \log_{1/4} x$ — убывающая функция.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_4 x$: положительна при $x > 1$ и отрицательна при $0 < x < 1$.
  • Для $y = \log_{1/4} x$: положительна при $0 < x < 1$ и отрицательна при $x > 1$.

5.33 Используя свойства логарифмической функции, сравните:

а) $ \log_2 3 $ и $ \log_2 5 $;

б) $ \log_2 \frac{1}{3} $ и $ \log_2 \frac{1}{5} $;

в) $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{2}} 5 $;

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.

Для сравнения логарифмов используется свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $:

• Если основание $ a > 1 $, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $ x_2 > x_1 $, то $ \log_a x_2 > \log_a x_1 $.
• Если основание $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $ x_2 > x_1 $, то $ \log_a x_2 < \log_a x_1 $.

а) Сравним $ \log_2 3 $ и $ \log_2 5 $.
Основание логарифма $ a = 2 $. Так как $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 x $ является возрастающей. Сравним аргументы: $ 5 > 3 $. Поскольку функция возрастающая, знак неравенства для значений логарифмов сохраняется. Следовательно, $ \log_2 5 > \log_2 3 $.
Ответ: $ \log_2 3 < \log_2 5 $.

б) Сравним $ \log_2 \frac{1}{3} $ и $ \log_2 \frac{1}{5} $.
Основание логарифма $ a = 2 $, то есть $ a > 1 $. Функция $ y = \log_2 x $ — возрастающая. Сравним аргументы: так как $ 3 < 5 $, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $. Для возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение, поэтому $ \log_2 \frac{1}{3} > \log_2 \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \log_2 \frac{1}{3} > \log_2 \frac{1}{5} $.

в) Сравним $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{2}} 5 $.
Основание логарифма $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ является убывающей. Сравним аргументы: $ 5 > 3 $. Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений логарифмов меняется на противоположный. Следовательно, $ \log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3 $.
Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{2}} 5 $.

г) Сравним $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.
Основание логарифма $ a = \frac{1}{2} $, то есть $ 0 < a < 1 $. Функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ — убывающая. Сравним аргументы: $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $. Для убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.

5.34 На каком числовом промежутке точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше (ниже) соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$?

Чтобы определить, на каком числовом промежутке точки графика одной функции расположены выше или ниже соответствующих точек графика другой функции, необходимо решить соответствующие неравенства. Областью определения для обеих функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_4 x$ является промежуток $x > 0$.

выше

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x > \log_4 x$

Приведем логарифм в правой части к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$\log_2 x > \frac{\log_2 x}{2}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x > 0$

$\log_2 x > 0$

Представим 0 как логарифм с основанием 2: $0 = \log_2 1$.

$\log_2 x > \log_2 1$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Данное решение удовлетворяет области определения $x > 0$.

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены выше соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(1; +\infty)$.

ниже

Найдем промежуток, на котором точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже точек графика функции $y = \log_4 x$. Для этого решим неравенство:

$\log_2 x < \log_4 x$

Используя то же преобразование, что и в предыдущем пункте, получаем:

$\log_2 x < \frac{\log_2 x}{2}$

$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x < 0$

$\log_2 x < 0$

$\log_2 x < \log_2 1$

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

С учетом области определения ($x > 0$), получаем окончательное решение для этого случая:

$0 < x < 1$

Ответ: точки графика функции $y = \log_2 x$ расположены ниже соответствующих точек графика функции $y = \log_4 x$ на промежутке $(0; 1)$.

Постройте график функции (5.35–5.36):

5.35

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \log_2 (-x);$

в) $y = \log_2 |x|;$

г) $y = \log_2 (x - 3);$

д) $y = \log_2 (-x + 3);$

е) $y = \log_2 |x + 2|;$

ж) $y = |\log_2 x|;$

з) $y = |\log_2 x - 2|;$

и) $y = |\log_2 (x - 2) - 1|.$

а) $y = \log_2 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием 2. Для построения ее графика определим основные свойства и найдем несколько ключевых точек.
1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения: $(0, +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty, +\infty)$.
3. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
4. Точки на графике:

• При $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ (пересечение с осью Ox).
• При $x=2$, $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• При $x=4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=0.5$, $y = \log_2 0.5 = -1$. Точка $(0.5, -1)$.

5. Монотонность: Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая начинается в левой части от оси Oy, приближаясь к ней асимптотически ($y \to -\infty$ при $x \to 0^+$), пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и плавно возрастает вправо, проходя через точки $(2, 1)$, $(4, 2)$ и так далее.

б) $y = \log_2(-x)$

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.
1. Область определения: $-x > 0$, что эквивалентно $x < 0$. Область определения: $(-\infty, 0)$.
2. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
3. Точки на графике: Получаем их, изменяя знак координаты $x$ у точек графика $y = \log_2 x$.

• Точка $(-1, 0)$ (пересечение с осью Ox).
• Точка $(-2, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$.
• Точка $(-0.5, -1)$.

4. Монотонность: Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции является зеркальным отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси Oy. Кривая начинается в правой части от оси Oy, приближаясь к ней асимптотически ($y \to -\infty$ при $x \to 0^-$), пересекает ось Ox в точке $(-1, 0)$ и плавно убывает влево, проходя через точки $(-2, 1)$, $(-4, 2)$ и так далее.

в) $y = \log_2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(x) = \log_2|x|$ и $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x|$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функцию можно представить в виде: $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } x > 0 \\ \log_2 (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
1. Область определения: $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Построение графика:

• Для $x > 0$ строим график $y = \log_2 x$ (как в пункте а).
• Для $x < 0$ строим график $y = \log_2 (-x)$ (как в пункте б), что является отражением первой части относительно оси Oy.

3. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$.
4. Пересечения с осью Ox: $|x|=1$, то есть $x=1$ и $x=-1$. Точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь совпадает с графиком $y=\log_2 x$ для $x>0$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением. Обе ветви имеют общую вертикальную асимптоту $x=0$.

г) $y = \log_2(x-3)$

Этот график можно получить из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
1. Область определения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. Область определения: $(3, +\infty)$.
2. Вертикальная асимптота: Асимптота $x=0$ для базовой функции смещается на 3 вправо, становясь прямой $x=3$.
3. Точки на графике: Получаем их, прибавляя 3 к координате $x$ у точек графика $y = \log_2 x$.

• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \log_2(x-3)=0 \Rightarrow x-3=1 \Rightarrow x=4$. Точка $(4, 0)$.
• Точка $(3+2, 1) = (5, 1)$.
• Точка $(3+4, 2) = (7, 2)$.
• Точка $(3+0.5, -1) = (3.5, -1)$.

Ответ: График функции $y=\log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота — прямая $x=3$. График пересекает ось Ox в точке $(4, 0)$ и возрастает при $x > 3$.

д) $y = \log_2(-x+3)$

Преобразуем функцию: $y = \log_2(-(x-3))$. Ее график можно получить из графика $y = \log_2(-x)$ (из пункта б) сдвигом на 3 единицы вправо.
1. Область определения: $-x+3 > 0$, то есть $x < 3$. Область определения: $(-\infty, 3)$.
2. Вертикальная асимптота: Прямая $x=3$.
3. Точки на графике:

• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow -x+3=1 \Rightarrow x=2$. Точка $(2, 0)$.
• При $x=1$, $y=\log_2(-1+3)=\log_2 2=1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=-1$, $y=\log_2(-(-1)+3)=\log_2 4=2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x=2.5$, $y=\log_2(-2.5+3)=\log_2 0.5=-1$. Точка $(2.5, -1)$.

Ответ: График функции является отражением графика $y=\log_2(x-3)$ из пункта г) относительно прямой $x=3$. Это убывающая кривая, определенная для $x<3$, с вертикальной асимптотой $x=3$ и пересечением оси Ox в точке $(2, 0)$.

е) $y = \log_2|x+2|$

Этот график можно получить из графика $y = \log_2|x|$ (из пункта в) сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
1. Область определения: $|x+2| > 0$, то есть $x \neq -2$. Область определения: $(-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
2. Вертикальная асимптота: Асимптота $x=0$ для $y=\log_2|x|$ смещается на 2 влево, становясь прямой $x=-2$.
3. Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=-2$.
4. Точки на графике:

• Пересечения с осью Ox: $|x+2|=1 \Rightarrow x+2=1$ или $x+2=-1$. Отсюда $x=-1$ и $x=-3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• При $x=0$, $y=\log_2|0+2|=\log_2 2=1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x=-4$, $y=\log_2|-4+2|=\log_2 2=1$. Точка $(-4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-2$, которая является вертикальной асимптотой. Ветви пересекают ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

ж) $y = |\log_2 x|$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем отражения той его части, что лежит ниже оси Ox ($y<0$), симметрично относительно оси Ox.
1. Область определения: $x > 0$.
2. Построение:

• Сначала строим график $y = \log_2 x$ (как в пункте а).
• Часть графика при $x \ge 1$ (где $\log_2 x \ge 0$) остается без изменений. Это точки $(1, 0), (2, 1), (4, 2)$ и т.д.
• Часть графика при $0 < x < 1$ (где $\log_2 x < 0$) отражается вверх относительно оси Ox. Например, точка $(0.5, -1)$ переходит в $(0.5, 1)$, точка $(0.25, -2)$ переходит в $(0.25, 2)$.

3. Вертикальная асимптота: $x=0$. При $x \to 0^+$, $\log_2 x \to -\infty$, следовательно $|\log_2 x| \to +\infty$.
4. Особенность: В точке $(1, 0)$ график имеет излом (острую вершину).

Ответ: График расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$, к которой стремится вверх. График "отражается" от оси Ox в точке $(1,0)$, образуя в ней излом, и далее совпадает с графиком $y=\log_2 x$.

з) $y = |\log_2 x - 2|$

Для построения этого графика выполним последовательные преобразования:
1. Строим график $y_1 = \log_2 x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы вниз, получаем $y_2 = \log_2 x - 2$.

• Область определения $y_2$: $x > 0$.
• Асимптота $y_2$: $x=0$.
• Пересечение с Ox для $y_2$: $\log_2 x - 2 = 0 \Rightarrow \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.

3. Отражаем часть графика $y_2$, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.

• Часть графика $y_2$ при $x \ge 4$ остается на месте.
• Часть графика $y_2$ при $0 < x < 4$ отражается вверх. Например, точка $(1, -2)$ на графике $y_2$ переходит в точку $(1, 2)$, а точка $(2, -1)$ — в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (стремится к $+\infty$). Он касается оси Ox в точке $(4, 0)$, образуя излом. При $0 < x < 4$ кривая убывает от $+\infty$ до $0$, проходя через точки $(1,2)$ и $(2,1)$. При $x > 4$ кривая возрастает, проходя через точку $(8,1)$.

и) $y = |\log_2(x-2) - 1|$

Для построения этого графика выполним последовательные преобразования:
1. Строим график $y_1 = \log_2 x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо: $y_2 = \log_2(x-2)$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз: $y_3 = \log_2(x-2) - 1$.

• Область определения $y_3$: $x > 2$.
• Асимптота $y_3$: $x=2$.
• Пересечение с Ox для $y_3$: $\log_2(x-2) - 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x-2) = 1 \Rightarrow x-2 = 2 \Rightarrow x=4$. Точка $(4, 0)$.

4. Отражаем часть графика $y_3$, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.

• Часть графика $y_3$ при $x \ge 4$ остается на месте.
• Часть графика $y_3$ при $2 < x < 4$ отражается вверх. Например, точка $(3, -1)$ на графике $y_3$ (так как $\log_2(3-2)-1 = 0-1=-1$) переходит в точку $(3, 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2$ (стремится к $+\infty$). Он касается оси Ox в точке $(4, 0)$, образуя в ней излом. При $2 < x < 4$ кривая убывает от $+\infty$ до $0$, проходя через точку $(3,1)$. При $x > 4$ кривая возрастает, проходя через точку $(6,1)$.

5.36 а) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$;

В) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$;

Д) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x - 1)$;

е) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x - 1|$;

ж) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$;

з) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x - 2|$;

и) $y = |\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) - 2|$.

Для решения данной задачи мы будем использовать метод преобразования графиков функций, отталкиваясь от графика основной функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Для построения графика определим его основные свойства и найдем несколько ключевых точек:

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$. Область определения: $(0, +\infty)$.

2. Область значений: $(-\infty, +\infty)$.

3. Асимптота: Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

4. Точки для построения:

- Если $x=1$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

- Если $x=2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

- Если $x=4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$. Точка $(4, -2)$.

- Если $x=\frac{1}{2}$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$. Точка $(\frac{1}{2}, 1)$.

График представляет собой кривую, проходящую через указанные точки, убывающую на всей области определения и приближающуюся к оси $Oy$ при $x \to 0^+$.

Ответ: График базовой логарифмической функции с основанием $\frac{1}{2}$, убывающей на области определения $(0, +\infty)$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и проходящей через точку $(1, 0)$.

График этой функции можно получить из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$.

1. Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$. Область определения: $(-\infty, 0)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$.

3. Точки для построения: Точки с графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ отражаются симметрично. Например, $(1, 0) \to (-1, 0)$, $(2, -1) \to (-2, -1)$, $(\frac{1}{2}, 1) \to (-\frac{1}{2}, 1)$.

4. Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{2}} |-x| = \log_{\frac{1}{2}} |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, & \text{если } x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ для $x > 0$ (как в пункте а).

2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Область определения: $|x| > 0 \implies x \neq 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График состоит из двух ветвей: графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ для $x>0$ и его симметричного отражения относительно оси $Oy$ для $x<0$.

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем сдвига вправо на 1 единицу. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-1)$.

1. Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$. Область определения: $(1, +\infty)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота также сдвигается на 1 вправо и становится прямой $x=1$.

3. Точки для построения: Каждая точка на графике $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 1 вправо. Например, $(1, 0) \to (2, 0)$, $(2, -1) \to (3, -1)$, $(\frac{1}{2}, 1) \to (\frac{3}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

Преобразуем выражение: $y = \log_{\frac{1}{2}} (-(x+1))$. Построение графика выполняется в два шага:

1. Строим график $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$ (см. пункт б) – отражение базового графика относительно оси $Oy$.

2. Сдвигаем полученный график на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Это преобразование вида $g(x) \to g(x+1)$, где $g(x) = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$.

Область определения: $-x-1 > 0 \implies -x > 1 \implies x < -1$. Область определения: $(-\infty, -1)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=0$ для $y=\log_{\frac{1}{2}}(-x)$ сдвигается на 1 влево, становясь прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$, а затем сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

Построение этого графика можно выполнить двумя способами:

1. Сдвинуть график $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$ (из пункта в) на 1 единицу вправо.

2. Построить график $y = \log_{\frac{1}{2}} (x-1)$ (из пункта г) для $x>1$ и отразить его симметрично относительно прямой $x=1$.

Функция может быть представлена как:

$y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (x-1), & \text{если } x > 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (-(x-1)), & \text{если } x < 1 \end{cases} = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (x-1), & \text{если } x > 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (1-x), & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Область определения: $|x-1| > 0 \implies x \neq 1$. Область определения: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=1$.

Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=1$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо. График симметричен относительно прямой $x=1$.

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ преобразованием $f(x) \to |f(x)|$. Для построения необходимо:

1. Построить график $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отразить симметрично относительно оси $Ox$.

3. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \ge 0$), оставить без изменений.

Для $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: $y \ge 0$ при $0 < x \le 1$, и $y < 0$ при $x > 1$.

Таким образом, на интервале $(0, 1]$ график $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$ совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, а на интервале $(1, +\infty)$ он совпадает с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_2 x$.

Область определения: $(0, +\infty)$.

Область значений: $[0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, у которого часть, лежащая ниже оси абсцисс, отражена симметрично относительно этой оси.

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Строим график $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$ путем сдвига графика $y_1$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

- Асимптота $x=0$ сохраняется.

- Точка пересечения с осью $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x = 2 \implies x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(\frac{1}{4}, 0)$.

3. Строим график $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}} x - 2|$. Для этого часть графика $y_2$, лежащую ниже оси $Ox$ (при $x > \frac{1}{4}$), отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 2 единицы вниз, а затем часть полученного графика, лежащая ниже оси абсцисс, отражается симметрично относительно этой оси.

Это наиболее сложное преобразование, которое выполняется последовательно:

1. Строим базовый график $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Сдвигаем его на 1 единицу вправо: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} (x-1)$. Асимптота становится $x=1$. Область определения: $x>1$.

3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз: $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2$.

- Точка пересечения $y_2$ с осью $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} (x-1) = 2 \implies x-1 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4}$. Точка $(\frac{5}{4}, 0)$.

4. Применяем модуль: $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x > \frac{5}{4}$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 1 единицу вправо и 2 единицы вниз, после чего часть полученного графика, лежащая ниже оси абсцисс, отражается симметрично относительно этой оси.