Номер 5.33, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.33, страница 157.

5.33 Используя свойства логарифмической функции, сравните:

а) $ \log_2 3 $ и $ \log_2 5 $;

б) $ \log_2 \frac{1}{3} $ и $ \log_2 \frac{1}{5} $;

в) $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{2}} 5 $;

г) $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.

Для сравнения логарифмов используется свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $:

• Если основание $ a > 1 $, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $ x_2 > x_1 $, то $ \log_a x_2 > \log_a x_1 $.
• Если основание $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $ x_2 > x_1 $, то $ \log_a x_2 < \log_a x_1 $.

а) Сравним $ \log_2 3 $ и $ \log_2 5 $.
Основание логарифма $ a = 2 $. Так как $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 x $ является возрастающей. Сравним аргументы: $ 5 > 3 $. Поскольку функция возрастающая, знак неравенства для значений логарифмов сохраняется. Следовательно, $ \log_2 5 > \log_2 3 $.
Ответ: $ \log_2 3 < \log_2 5 $.

б) Сравним $ \log_2 \frac{1}{3} $ и $ \log_2 \frac{1}{5} $.
Основание логарифма $ a = 2 $, то есть $ a > 1 $. Функция $ y = \log_2 x $ — возрастающая. Сравним аргументы: так как $ 3 < 5 $, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $. Для возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение, поэтому $ \log_2 \frac{1}{3} > \log_2 \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \log_2 \frac{1}{3} > \log_2 \frac{1}{5} $.

в) Сравним $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{2}} 5 $.
Основание логарифма $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ является убывающей. Сравним аргументы: $ 5 > 3 $. Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений логарифмов меняется на противоположный. Следовательно, $ \log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3 $.
Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{2}} 5 $.

г) Сравним $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} $ и $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.
Основание логарифма $ a = \frac{1}{2} $, то есть $ 0 < a < 1 $. Функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ — убывающая. Сравним аргументы: $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $. Для убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} $.