Номер 5.29, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.3. Логарифмическая функция - номер 5.29, страница 156.

Условие.

5.29 Для каких $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ напрямую зависят от значения ее основания $a$. По определению логарифма, основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Эти условия делят все возможные значения $a$ на два промежутка: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Монотонность функции (возрастание или убывание) определяется тем, в какой из этих промежутков попадает основание $a$.

а) возрастает

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей на всей своей области определения, если ее основание $a$ больше единицы.

Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, будет выполняться неравенство $\log_a x_2 > \log_a x_1$.

Таким образом, условие возрастания функции — это $a > 1$.

Ответ: $a > 1$ (или $a \in (1; +\infty)$).

б) убывает

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей на всей своей области определения, если ее основание $a$ положительно, но меньше единицы.

Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, будет выполняться неравенство $\log_a x_2 < \log_a x_1$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Таким образом, условие убывания функции — это $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$ (или $a \in (0; 1)$).