Страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.28°

a) Как называют функцию $y = \log_a x$ ($a > 0$, $a \ne 1$)?

б) Какова область определения функции $y = \log_a x$?

в) На каком промежутке функция $y = \log_a x$ непрерывна?

а) Функцию вида $y = \log_a x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), называют логарифмической функцией. Эта функция является обратной к показательной функции $y = a^x$.
Ответ: логарифмическая функция.

б) Областью определения функции называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. По определению логарифма, выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным. Для функции $y = \log_a x$ это означает, что должно выполняться неравенство $x > 0$. Таким образом, областью определения является множество всех положительных действительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$.
Ответ: $(0; +\infty)$.

в) Логарифмическая функция является элементарной функцией. Свойство элементарных функций заключается в том, что они непрерывны на всей своей области определения. Так как область определения функции $y = \log_a x$ — это промежуток $(0; +\infty)$, то и непрерывна она на этом же промежутке.
Ответ: на промежутке $(0; +\infty)$.

5.29 Для каких $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает?

Свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ напрямую зависят от значения ее основания $a$. По определению логарифма, основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Эти условия делят все возможные значения $a$ на два промежутка: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Монотонность функции (возрастание или убывание) определяется тем, в какой из этих промежутков попадает основание $a$.

а) возрастает

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей на всей своей области определения, если ее основание $a$ больше единицы.

Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, будет выполняться неравенство $\log_a x_2 > \log_a x_1$.

Таким образом, условие возрастания функции — это $a > 1$.

Ответ: $a > 1$ (или $a \in (1; +\infty)$).

б) убывает

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей на всей своей области определения, если ее основание $a$ положительно, но меньше единицы.

Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, будет выполняться неравенство $\log_a x_2 < \log_a x_1$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Таким образом, условие убывания функции — это $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$ (или $a \in (0; 1)$).