Страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.22 Выразите через логарифмы по основанию 2 и упростите:

а) $\log_3 5$;

б) $\log_4 8$;

в) $\log_5 9$;

г) $\log_{16} 32$;

д) $\log_4 2$;

е) $\log_8 2$;

ж) $\log_{16} 2$;

з) $\log_{\frac{1}{2}} 2$;

и) $\log_{\frac{1}{4}} 2$;

к) $\log_{\frac{1}{8}} 2$;

л) $\log_{\frac{1}{16}} 2$;

м) $\log_{\frac{1}{32}} 2.

Для решения всех пунктов используется формула перехода к новому основанию логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае мы переходим к основанию $c=2$.

а) Применим формулу перехода к основанию 2 для $\log_3 5$: $\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$. Так как числа 3 и 5 не являются степенями 2, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно. Ответ: $\frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

б) Выразим $\log_4 8$ через логарифм по основанию 2: $\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4}$. Поскольку $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$, то $\log_2 8 = 3$ и $\log_2 4 = 2$. Таким образом, $\log_4 8 = \frac{3}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Выразим $\log_5 9$ через логарифм по основанию 2: $\log_5 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 5}$. Учитывая, что $9 = 3^2$, можно упростить числитель, используя свойство логарифма степени $\log_c(b^p) = p \log_c b$: $\log_2 9 = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$. Итоговое выражение: $\frac{2\log_2 3}{\log_2 5}$. Ответ: $\frac{2\log_2 3}{\log_2 5}$

г) Выразим $\log_{16} 32$ через логарифм по основанию 2: $\log_{16} 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 16}$. Поскольку $32 = 2^5$ и $16 = 2^4$, то $\log_2 32 = 5$ и $\log_2 16 = 4$. Таким образом, $\log_{16} 32 = \frac{5}{4}$. Ответ: $\frac{5}{4}$

д) Выразим $\log_4 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_4 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 4}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = \log_2(2^2) = 2$, получаем $\log_4 2 = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Выразим $\log_8 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_8 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 8}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 8 = \log_2(2^3) = 3$, получаем $\log_8 2 = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$

ж) Выразим $\log_{16} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{16} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 16}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$, получаем $\log_{16} 2 = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$

з) Выразим $\log_{\frac{1}{2}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{2}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{2} = \log_2(2^{-1}) = -1$, получаем $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{1}{-1} = -1$. Ответ: $-1$

и) Выразим $\log_{\frac{1}{4}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{4}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{4}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{4} = \log_2(2^{-2}) = -2$, получаем $\log_{\frac{1}{4}} 2 = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

к) Выразим $\log_{\frac{1}{8}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{8}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{8}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2(2^{-3}) = -3$, получаем $\log_{\frac{1}{8}} 2 = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$. Ответ: $-\frac{1}{3}$

л) Выразим $\log_{\frac{1}{16}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{16}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{16}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{16} = \log_2(2^{-4}) = -4$, получаем $\log_{\frac{1}{16}} 2 = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$. Ответ: $-\frac{1}{4}$

м) Выразим $\log_{\frac{1}{32}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{32}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{32}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{32} = \log_2(2^{-5}) = -5$, получаем $\log_{\frac{1}{32}} 2 = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$. Ответ: $-\frac{1}{5}$

5.23 Вычислите:

а) $2^{\frac{1}{\log_5 2}};$

б) $3^{\frac{1}{\log_5 3}};$

в) $7^{\frac{1}{\log_2 7}};$

г) $10^{\frac{1}{\log_2 10}};$

д) $5^{\frac{1}{\log_7 5}};$

е) $6^{\frac{1}{\log_2 6}}.$

а) Для решения этого примера мы будем использовать два ключевых свойства логарифмов.
Первое свойство — это формула перехода к другому основанию, которая в данном случае выглядит так: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$. С помощью этого свойства мы можем преобразовать показатель степени.
Преобразуем показатель:
$\frac{1}{\log_5 2} = \log_2 5$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$2^{\frac{1}{\log_5 2}} = 2^{\log_2 5}$
Второе свойство — это основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. Применим его к нашему выражению:
$2^{\log_2 5} = 5$
Ответ: 5

б) Используем тот же подход. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5$
Подставим это преобразование в исходное выражение:
$3^{\frac{1}{\log_5 3}} = 3^{\log_3 5}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5} = 5$
Ответ: 5

в) Снова применим свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ к показателю степени.
$\frac{1}{\log_2 7} = \log_7 2$
Подставим полученное выражение обратно в степень:
$7^{\frac{1}{\log_2 7}} = 7^{\log_7 2}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим результат:
$7^{\log_7 2} = 2$
Ответ: 2

г) Преобразуем показатель степени с помощью свойства $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2$
Подставим это в наше выражение:
$10^{\frac{1}{\log_2 10}} = 10^{\log_{10} 2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$10^{\log_{10} 2} = 2$
Ответ: 2

д) Воспользуемся свойством $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для преобразования показателя степени.
$\frac{1}{\log_7 5} = \log_5 7$
Теперь исходное выражение можно записать как:
$5^{\frac{1}{\log_7 5}} = 5^{\log_5 7}$
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 7} = 7$
Ответ: 7

е) Используем свойство логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для показателя степени.
$\frac{1}{\log_2 6} = \log_6 2$
Подставим преобразованный показатель в выражение:
$6^{\frac{1}{\log_2 6}} = 6^{\log_6 2}$
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$6^{\log_6 2} = 2$
Ответ: 2

5.24 Найдите значение числового выражения:

а) $\log_3 27 - \log_{\sqrt{3}} 27 - \log_{\frac{1}{3}} 27 - \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{64}{27}\right)$;

б) $\log_{0.4} \left(\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}\right) + \log_{0.6} \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) + \log_{0.32} \left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$;

в) $\left(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) - 2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right)\right) : \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8}.$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя свойства логарифмов, в частности формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ и $ \log_a a^n = n $.

1. Первый член: $ \log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3 $.

2. Второй член: $ \log_{\sqrt{3}} 27 = \log_{3^{1/2}} 3^3 = \frac{3}{1/2} \log_{3} 3 = 2 \cdot 3 = 6 $.

3. Третий член: $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{3^{-1}} 3^3 = \frac{3}{-1} \log_{3} 3 = -3 $.

4. Четвертый член: $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{64}{27}\right) $. Представим аргумент логарифма как степень основания: $ \frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = \frac{(2^2)^3}{3^3} = \frac{2^6}{3^3} = \frac{2^6}{(\sqrt{3})^6} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^6 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-6} $.
Следовательно, $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-6} = -6 $.

5. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение: $ 3 - 6 - (-3) - (-6) = 3 - 6 + 3 + 6 = 6 $.

Ответ: 6

Для решения преобразуем основания и аргументы логарифмов так, чтобы аргумент стал степенью основания.

1. Первый член: $ \log_{0.4} \left(\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}\right) $.
Основание: $ 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Аргумент: $ \frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50} = \frac{1}{5} \cdot (2 \cdot 25)^{1/3} = 5^{-1} \cdot 2^{1/3} \cdot (5^2)^{1/3} = 5^{-1} \cdot 2^{1/3} \cdot 5^{2/3} = 2^{1/3} \cdot 5^{-1/3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{1/3} $.
Тогда $ \log_{2/5} \left(\frac{2}{5}\right)^{1/3} = \frac{1}{3} $.

2. Второй член: $ \log_{0.6} \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) $.
Основание: $ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
Аргумент: $ \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{5} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{5^{1/2}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{1/2} $.
Тогда $ \log_{3/5} \left(\frac{3}{5}\right)^{1/2} = \frac{1}{2} $.

3. Третий член: $ \log_{0.32} \left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) $.
Основание: $ 0.32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25} $.
Аргумент: $ \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{2^1 \cdot 2^{1/2}}{5} = \frac{2^{3/2}}{5} $.
Пусть $ x = \log_{8/25} \left(\frac{2^{3/2}}{5}\right) $, тогда $ \left(\frac{8}{25}\right)^x = \frac{2^{3/2}}{5} \implies \left(\frac{2^3}{5^2}\right)^x = \frac{2^{3/2}}{5^1} \implies \frac{2^{3x}}{5^{2x}} = \frac{2^{3/2}}{5^1} $.
Приравнивая показатели степеней для $2$ и $5$, получаем: $ 3x = 3/2 \implies x=1/2 $ и $ 2x = 1 \implies x=1/2 $. Значит, значение логарифма равно $ \frac{1}{2} $.

4. Суммируем полученные значения: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{3} $

Решим задачу по частям: сначала вычислим значение выражения в скобках, затем значение делителя, и в конце выполним деление.

1. Вычислим выражение в скобках: $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) - 2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right) $.
Приведем все логарифмы к основанию $ \frac{1}{2} $.
- $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{1/3} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3} = \frac{2}{3} $.
- $ 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) = 6\log_{(\frac{1}{2})^2} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 6 \cdot \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 3 $.
- $ -2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right) = -2\log_{(\frac{1}{2})^4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -2 \cdot \frac{2}{4} \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $.
Сумма в скобках: $ \frac{2}{3} + 3 - 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} $.

2. Вычислим делитель: $ \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8} $.
Приведем к основанию $2$.
$ \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8} = \log_{2^{1/2}} (2^3)^{1/5} = \log_{2^{1/2}} 2^{3/5} = \frac{3/5}{1/2} \log_2 2 = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5} $.

3. Выполним деление: $ \left(\frac{8}{3}\right) : \left(\frac{6}{5}\right) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} $.

Ответ: $ \frac{20}{9} $

Вычислите (5.25–5.27):

5.25 a) $6^{\log_{36} 25}$;

б) $7^{\log_{49} 36}$;

в) $4^{\frac{1}{2 \log_{625} 16}}$.

а) $6^{\log_{36} 25}$

Для решения этого выражения необходимо привести основание степени ($6$) и основание логарифма ($36$) к одному и тому же числу, чтобы можно было применить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

1. Представим основание логарифма $36$ как степень числа $6$:

$36 = 6^2$

2. Преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{36} 25 = \log_{6^2} 25 = \frac{1}{2} \log_6 25$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$6^{\log_{36} 25} = 6^{\frac{1}{2} \log_6 25}$

4. Воспользуемся свойством логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ под знак логарифма в качестве показателя степени:

$6^{\frac{1}{2} \log_6 25} = 6^{\log_6 (25^{\frac{1}{2}})}$

5. Вычислим значение $25^{\frac{1}{2}}$:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

6. Теперь выражение имеет вид:

$6^{\log_6 5}$

7. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 5} = 5$

Ответ: 5

б) $7^{\log_{49} 36}$

Данное выражение решается аналогично предыдущему. Приведем основание степени ($7$) и основание логарифма ($49$) к общему основанию.

1. Заметим, что $49 = 7^2$.

2. Преобразуем логарифм в показателе степени, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{49} 36 = \log_{7^2} 36 = \frac{1}{2} \log_7 36$

3. Подставим это в исходное выражение:

$7^{\log_{49} 36} = 7^{\frac{1}{2} \log_7 36}$

4. Используем свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$7^{\frac{1}{2} \log_7 36} = 7^{\log_7 (36^{\frac{1}{2}})}$

5. Вычислим значение $36^{\frac{1}{2}}$:

$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

6. Выражение упрощается до:

$7^{\log_7 6}$

7. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$7^{\log_7 6} = 6$

Ответ: 6

в) $4^{\frac{1}{2 \log_{625} 16}}$

Для решения этого примера сначала упростим показатель степени.

1. Преобразуем логарифм $\log_{625} 16$. Представим основание $625$ и число под логарифмом $16$ в виде степеней:

$625 = 5^4$

$16 = 4^2$

2. Применим свойство логарифма $\log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_{625} 16 = \log_{5^4} (4^2) = \frac{2}{4} \log_5 4 = \frac{1}{2} \log_5 4$

3. Подставим полученное значение в показатель степени исходного выражения:

$\frac{1}{2 \log_{625} 16} = \frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2} \log_5 4)} = \frac{1}{\log_5 4}$

4. Теперь используем свойство перехода к другому основанию в виде $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{1}{\log_5 4} = \log_4 5$

5. Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$4^{\log_4 5}$

6. Наконец, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 5} = 5$

Ответ: 5

5.26 a) $\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{\log_2 4} \cdot \log_5 25$;

Б) $\frac{\log_2 6 \cdot \log_6 9}{\log_2 9} \cdot 6^{\log_6 5}$;

В) $\log_2 3 \cdot \log_3 2 \cdot 7^{2 \log_7 3}$;

Г) $\log_7 8 \cdot \log_8 7 \cdot 3^{\log_9 49}$.

а) Вычислим значение выражения $\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{\log_2 4} \cdot \log_5 25$.
Для начала упростим логарифмы, которые можно легко вычислить:

• $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$
• $\log_5 25 = \log_5 (5^2) = 2$

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{2} \cdot 2$
Сократим множитель 2 в числителе и знаменателе, получим:
$\log_2 3 \cdot \log_3 4$
Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию, которая в данном случае приводит к "цепному правилу" для логарифмов: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$
Мы уже знаем, что $\log_2 4 = 2$.
Следовательно, значение всего выражения равно 2.

Ответ: 2

б) Вычислим значение выражения $\frac{\log_2 6 \cdot \log_6 9}{\log_2 9} \cdot 6^{\log_6 5}$.
Рассмотрим выражение по частям.
Упростим числитель дроби $\log_2 6 \cdot \log_6 9$, используя "цепное правило" $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:
$\log_2 6 \cdot \log_6 9 = \log_2 9$
Теперь вся дробь принимает вид:
$\frac{\log_2 9}{\log_2 9} = 1$
Упростим второй множитель $6^{\log_6 5}$, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 5} = 5$
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot 5 = 5$
Следовательно, значение всего выражения равно 5.

Ответ: 5

в) Вычислим значение выражения $\log_2 3 \cdot \log_3 2 \cdot 7^{2 \log_7 3}$.
Рассмотрим произведение $\log_2 3 \cdot \log_3 2$. Используя свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, получаем:
$\log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$
Теперь упростим множитель $7^{2 \log_7 3}$. Сначала используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$2 \log_7 3 = \log_7 (3^2) = \log_7 9$
Подставим это в показатель степени:
$7^{\log_7 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$7^{\log_7 9} = 9$
Наконец, перемножим все полученные результаты:
$1 \cdot 9 = 9$
Следовательно, значение всего выражения равно 9.

Ответ: 9

г) Вычислим значение выражения $\log_7 8 \cdot \log_8 7 \cdot 3^{\log_9 49}$.
Рассмотрим произведение $\log_7 8 \cdot \log_8 7$. По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ сразу получаем:
$\log_7 8 \cdot \log_8 7 = 1$
Теперь упростим множитель $3^{\log_9 49}$. Основание степени равно 3, а основание логарифма равно 9. Приведем логарифм к основанию 3. Для этого представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $9 = 3^2$ и $49 = 7^2$.
$\log_9 49 = \log_{3^2} 7^2$
Воспользуемся свойством $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^2} 7^2 = \frac{2}{2} \log_3 7 = 1 \cdot \log_3 7 = \log_3 7$
Подставим полученный логарифм в выражение:
$3^{\log_9 49} = 3^{\log_3 7}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 7} = 7$
Перемножим полученные значения:
$1 \cdot 7 = 7$
Следовательно, значение всего выражения равно 7.

Ответ: 7

5.27* a) $3^{\log_3 \sqrt[4]{9}} + 2^{\frac{1}{\log_{16} 4}}$

б) $3^{\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2}} + \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{\log_2 3}{\log_2 9}}$

В) $\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$

Г) $\frac{3 + \log_{12} 27}{3 - \log_{12} 27} \cdot \log_6 16$

а) $3^{\log_{3}\sqrt[4]{9}} + 2^{\frac{1}{\log_{16}4}}$

Решим по частям. Сначала первое слагаемое. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$3^{\log_{3}\sqrt[4]{9}} = \sqrt[4]{9}$

Упростим полученное выражение:

$\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое. Для показателя степени применим свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\frac{1}{\log_{16}4} = \log_4 16$

Так как $4^2 = 16$, то $\log_4 16 = 2$.

Второе слагаемое равно $2^2 = 4$.

Сложим полученные результаты:

$\sqrt{3} + 4$

Ответ: $4 + \sqrt{3}$

б) $3^{\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2}} + (\frac{1}{9})^{\frac{\log_2 3}{\log_2 9}}$

Рассмотрим первое слагаемое. Преобразуем основание логарифма в показателе степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2} = \log_{3^{-1}} \frac{3}{2} = -1 \cdot \log_3 \frac{3}{2} = -\log_3 \frac{3}{2}$

Подставим это в первое слагаемое. Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$3^{-\log_3 \frac{3}{2}} = 3^{\log_3 (\frac{3}{2})^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое. Упростим показатель степени, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\frac{\log_2 3}{\log_2 9} = \log_9 3$

Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.

Второе слагаемое равно $(\frac{1}{9})^{1/2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Сложим результаты:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Ответ: $1$

в) $\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$

Используем свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ для преобразования знаменателей.

$\frac{1}{\log_{15} 3} = \log_3 15$

$\frac{1}{\log_{405} 3} = \log_3 405$

Выражение принимает вид:

$\log_3 135 \cdot \log_3 15 - \log_3 5 \cdot \log_3 405$

Разложим числа 135, 15 и 405 на множители:

$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$

Применим свойства логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и логарифма степени $\log_a b^k = k \log_a b$.

$\log_3 135 = \log_3(3^3 \cdot 5) = \log_3 3^3 + \log_3 5 = 3 + \log_3 5$

$\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$

$\log_3 405 = \log_3(3^4 \cdot 5) = \log_3 3^4 + \log_3 5 = 4 + \log_3 5$

Подставим эти выражения в исходное. Для удобства введем замену $x = \log_3 5$.

$(3 + x)(1 + x) - x(4 + x)$

Раскроем скобки и упростим:

$(3 + 3x + x + x^2) - (4x + x^2) = (x^2 + 4x + 3) - (4x + x^2) = x^2 + 4x + 3 - 4x - x^2 = 3$

Ответ: $3$

г) $\frac{3 + \log_{12} 27}{3 - \log_{12} 27} \cdot \log_6 16$

Преобразуем дробь. Представим число 3 в виде логарифма с основанием 12: $3 = 3 \cdot \log_{12} 12 = \log_{12} 12^3$.

$\frac{\log_{12} 12^3 + \log_{12} 27}{\log_{12} 12^3 - \log_{12} 27}$

Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\frac{\log_{12} (12^3 \cdot 27)}{\log_{12} (12^3 / 27)} = \frac{\log_{12} (1728 \cdot 27)}{\log_{12} (1728 / 27)} = \frac{\log_{12} 46656}{\log_{12} 64}$

Заметим, что $46656 = 36^3$ и $64=4^3$. Также $12^3 \cdot 27 = (12 \cdot 3)^3 = 36^3$ и $12^3 / 27 = 12^3 / 3^3 = (12/3)^3 = 4^3$.

$\frac{\log_{12} 36^3}{\log_{12} 4^3} = \frac{3 \log_{12} 36}{3 \log_{12} 4} = \frac{\log_{12} 36}{\log_{12} 4}$

По формуле перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$, получаем:

$\frac{\log_{12} 36}{\log_{12} 4} = \log_4 36$

Теперь все выражение имеет вид:

$\log_4 36 \cdot \log_6 16$

Используем формулу перехода к новому основанию, например, к натуральному логарифму, и свойство $\log_a b^k = k \log_a b$:

$\log_4 36 = \log_{2^2} 6^2 = \frac{2}{2} \log_2 6 = \log_2 6$

Теперь все выражение выглядит так:

$\log_2 6 \cdot \log_6 16$

Перейдем к основанию 2 для второго множителя:

$\log_6 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 6} = \frac{4}{\log_2 6}$

Перемножим полученные выражения:

$\log_2 6 \cdot \frac{4}{\log_2 6} = 4$

Ответ: $4$