Номер 5.2, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Понятие логарифма. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.2, страница 150.

5.2 Докажите, что:

а) $\log_2 8 = 3;$

б) $\log_5 \frac{1}{25} = -2;$

в) $\log_{0,1} 1 = 0.$

а) Чтобы доказать равенство $\log_2 8 = 3$, необходимо воспользоваться определением логарифма. Согласно определению, равенство $\log_a b = c$ истинно, если выполняется равенство $a^c = b$ (где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$).
В данном случае основание $a = 2$, число под знаком логарифма $b = 8$, а значение логарифма $c = 3$.
Подставим эти значения в эквивалентное степенное равенство: $2^3 = 8$.
Проверим его истинность: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Поскольку $8 = 8$, равенство верно, что и доказывает исходное утверждение.
Ответ: Равенство $\log_2 8 = 3$ доказано, так как $2^3 = 8$.

б) Для доказательства равенства $\log_5 \frac{1}{25} = -2$ применим то же определение логарифма: $\log_a b = c$ равносильно $a^c = b$.
Здесь основание $a = 5$, число $b = \frac{1}{25}$, а значение логарифма $c = -2$.
Проверим соответствующее степенное равенство: $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = \frac{1}{x^n}$): $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Равенство $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$ является верным, следовательно, исходное утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\log_5 \frac{1}{25} = -2$ доказано, так как $5^{-2} = \frac{1}{25}$.

в) Чтобы доказать равенство $\log_{0,1} 1 = 0$, воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В этом примере основание $a = 0,1$, число $b = 1$, а значение логарифма $c = 0$.
Проверим, выполняется ли равенство $(0,1)^0 = 1$.
Согласно свойству степени, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($x^0 = 1$ при $x \ne 0$). Так как $0,1 \ne 0$, то $(0,1)^0 = 1$.
Равенство $1 = 1$ является верным, что и доказывает исходное утверждение.
Ответ: Равенство $\log_{0,1} 1 = 0$ доказано, так как $(0,1)^0 = 1$.