Номер 5.1, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.1. Понятие логарифма - номер 5.1, страница 150.

Условие.

5.1°

a) Что называют логарифмом положительного числа b по основанию a ($a > 0$, $a \ne 1$)?

б) Существует ли логарифм нуля; отрицательного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называют показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
Запись $\log_a b = c$ является равносильной записи $a^c = b$.
Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.
Из определения следуют основные ограничения для логарифма:
1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $a > 0, a \neq 1$.

Ответ: Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ ($a > 0, a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

б) В области действительных чисел логарифм нуля и логарифм отрицательного числа не существуют. Это следует из определения логарифма.
Логарифм нуля: Предположим, что $\log_a 0 = c$. Это означало бы, что $a^c = 0$. Однако, по определению, основание $a$ является положительным числом. Любое положительное число, возведенное в любую действительную степень, всегда будет положительным числом. Не существует такого действительного числа $c$, для которого $a^c$ было бы равно нулю.
Логарифм отрицательного числа: Аналогично, предположим, что $\log_a b = c$, где $b < 0$. Это означало бы, что $a^c = b$. Но, как было сказано выше, положительное число $a$ в любой действительной степени $c$ всегда дает положительный результат ($a^c > 0$) и никогда не может быть равным отрицательному числу $b$.
Таким образом, операция логарифмирования определена только для положительных чисел.

Ответ: Нет, логарифм нуля и логарифм отрицательного числа не существуют.