Номер 5.7, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Понятие логарифма. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.7, страница 150.

5.7 a) $\log_{10} 10$;

б) $\log_{10} 100$;

в) $\log_{10} 0,1$;

г) $\lg 10$;

д) $\lg 1000$;

е) $\lg 0,01$;

ж) $\lg 10^n$;

з) $\lg \sqrt{10}$;

и) $\lg \sqrt[3]{0,01}$.

а) Десятичный логарифм $log_{10} 10$ по определению является степенью, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить число 10. Так как $10^1 = 10$, то значение логарифма равно 1. Ответ: 1

б) Чтобы найти $log_{10} 100$, нужно определить, в какую степень следует возвести 10, чтобы получить 100. Мы знаем, что $100 = 10^2$. Следовательно, $log_{10} 100 = log_{10} 10^2 = 2$. Ответ: 2

в) Для вычисления $log_{10} 0,1$ представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$. Таким образом, $log_{10} 0,1 = log_{10} 10^{-1} = -1$. Ответ: -1

г) Запись $lg$ — это стандартное обозначение десятичного логарифма, то есть $lg \, x = log_{10} x$. Поэтому $lg \, 10$ это то же самое, что и $log_{10} 10$. Как и в пункте а), $lg \, 10 = 1$. Ответ: 1

д) Вычисляем $lg \, 1000$. Для этого представим 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$. Тогда $lg \, 1000 = lg \, 10^3 = 3$. Ответ: 3

е) Вычисляем $lg \, 0,01$. Представим 0,01 в виде степени с основанием 10: $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Следовательно, $lg \, 0,01 = lg \, 10^{-2} = -2$. Ответ: -2

ж) Для вычисления $lg \, 10^n$ воспользуемся свойством логарифма $log_a a^x = x$. В нашем случае основание логарифма равно 10, и число под логарифмом также представлено как степень 10. Поэтому $lg \, 10^n = n$. Ответ: $n$

з) Чтобы найти $lg \sqrt{10}$, сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Квадратный корень можно представить в виде степени $\frac{1}{2}$: $\sqrt{10} = 10^{1/2}$. Тогда $lg \sqrt{10} = lg \, 10^{1/2} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

и) Для вычисления $lg \sqrt[3]{0,01}$ преобразуем выражение под логарифмом. Сначала $0,01 = 10^{-2}$. Затем кубический корень: $\sqrt[3]{0,01} = (0,01)^{1/3} = (10^{-2})^{1/3}$. По свойству степеней $(a^m)^n=a^{mn}$, получаем $10^{-2/3}$. Таким образом, $lg \sqrt[3]{0,01} = lg \, 10^{-2/3} = -\frac{2}{3}$. Ответ: $-\frac{2}{3}$