Номер 5.14, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.14, страница 153.

5.14 a) $4^{\log_2 3}$;

б) $9^{\log_3 5}$;

В) $49^{\log_7 3}$;

Г) $25^{\log_5 9}$;

Д) $8^{\log_2 7}$;

е) $36^{\log_6 2}$.

а) Для решения данного примера необходимо привести основание степени и основание логарифма к одному и тому же числу. Представим основание степени 4 как $2^2$.
$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3}$
Далее применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$2^{2 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем окончательный результат:
$2^{\log_2 9} = 9$
Ответ: 9

б) Представим основание степени 9 в виде $3^2$, чтобы оно совпадало с основанием логарифма.
$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{\log_3 5} = 3^{2 \cdot \log_3 5}$
Используя свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$3^{2 \cdot \log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 3^{\log_3 25}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 25} = 25$
Ответ: 25

в) Представим основание степени 49 как $7^2$.
$49^{\log_7 3} = (7^2)^{\log_7 3}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^2)^{\log_7 3} = 7^{2 \cdot \log_7 3}$
Применяем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$7^{2 \cdot \log_7 3} = 7^{\log_7 (3^2)} = 7^{\log_7 9}$
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 9} = 9$
Ответ: 9

г) Представим основание степени 25 как $5^2$.
$25^{\log_5 9} = (5^2)^{\log_5 9}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\log_5 9} = 5^{2 \cdot \log_5 9}$
По свойству логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$5^{2 \cdot \log_5 9} = 5^{\log_5 (9^2)} = 5^{\log_5 81}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 81} = 81$
Ответ: 81

д) Представим основание степени 8 как $2^3$.
$8^{\log_2 7} = (2^3)^{\log_2 7}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{\log_2 7} = 2^{3 \cdot \log_2 7}$
Применяем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$2^{3 \cdot \log_2 7} = 2^{\log_2 (7^3)} = 2^{\log_2 343}$
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 343} = 343$
Ответ: 343

е) Представим основание степени 36 как $6^2$.
$36^{\log_6 2} = (6^2)^{\log_6 2}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^{\log_6 2} = 6^{2 \cdot \log_6 2}$
По свойству логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$6^{2 \cdot \log_6 2} = 6^{\log_6 (2^2)} = 6^{\log_6 4}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 4} = 4$
Ответ: 4