Номер 5.20, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.2. Свойства логарифмов - номер 5.20, страница 153.

Условие.

5.20 Вычислите:

а) $2 \log_6 2 + \log_6 9;$

б) $\log_5 100 - 2 \log_5 2;$

в) $4 \log_{12} 2 + 2 \log_{12} 3;$

г) $\log_{11} 484 - 2 \log_{11} 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2 \log_6 2 + \log_6 9$

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: свойством степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойством суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$.Сначала преобразуем первое слагаемое по свойству степени: $2 \log_6 2 = \log_6 (2^2) = \log_6 4$.Теперь выражение примет вид: $\log_6 4 + \log_6 9$.Далее, по свойству суммы логарифмов, объединяем их: $\log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.Так как основание логарифма равно 6, и $6^2 = 36$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

б) $\log_5 100 - 2 \log_5 2$

Для решения используем свойства логарифмов: свойство степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$.Преобразуем вычитаемое по свойству степени: $2 \log_5 2 = \log_5 (2^2) = \log_5 4$.Теперь выражение примет вид: $\log_5 100 - \log_5 4$.Далее, по свойству разности логарифмов, получаем: $\log_5 (100 / 4) = \log_5 25$.Так как основание логарифма равно 5, и $5^2 = 25$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

в) $4 \log_{12} 2 + 2 \log_{12} 3$

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$.Преобразуем оба слагаемых по свойству степени:$4 \log_{12} 2 = \log_{12} (2^4) = \log_{12} 16$$2 \log_{12} 3 = \log_{12} (3^2) = \log_{12} 9$Теперь выражение имеет вид: $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$.Применяем свойство суммы логарифмов: $\log_{12} (16 \cdot 9) = \log_{12} 144$.Так как основание логарифма равно 12, и $12^2 = 144$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

г) $\log_{11} 484 - 2 \log_{11} 2$

Используем свойство степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$.Преобразуем вычитаемое по свойству степени: $2 \log_{11} 2 = \log_{11} (2^2) = \log_{11} 4$.Теперь выражение имеет вид: $\log_{11} 484 - \log_{11} 4$.Далее, применяем свойство разности логарифмов: $\log_{11} (484 / 4) = \log_{11} 121$.Так как основание логарифма равно 11, и $11^2 = 121$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2