Номер 5.15, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.15, страница 153.

5.15 а) $2^{\log_{\sqrt{2}} 3}$;

б) $3^{\log_{\sqrt{3}} 7}$;

в) $(\sqrt{3})^{\log_3 5}$;

г) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$;

д) $6^{\log_{\sqrt{6}} 3}$;

е) $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $2^{\log_{\sqrt{2}} 3}$, приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
2. Применим свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{2}} 3 = \log_{2^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2} \log_2 3 = 2 \log_2 3$.
3. Теперь воспользуемся свойством $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$.
4. Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$2^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 2^{\log_2 9}$.
5. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^{\log_2 9} = 9$.
Ответ: 9

б) Вычислим значение выражения $3^{\log_{\sqrt{3}} 7}$. Решение аналогично предыдущему пункту.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
2. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{3}} 7 = \log_{3^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} \log_3 7 = 2 \log_3 7$.
3. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_3 7 = \log_3 7^2 = \log_3 49$.
4. Подставим в исходное выражение:
$3^{\log_{\sqrt{3}} 7} = 3^{\log_3 49}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 49} = 49$.
Ответ: 49

в) Вычислим значение выражения $(\sqrt{3})^{\log_3 5}$. В этом случае будем преобразовывать основание степени.
1. Представим основание степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
2. Подставим в исходное выражение:
$(\sqrt{3})^{\log_3 5} = (3^{1/2})^{\log_3 5}$.
3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{1/2})^{\log_3 5} = 3^{\frac{1}{2} \log_3 5}$.
4. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ к показателю степени:
$\frac{1}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{1/2} = \log_3 \sqrt{5}$.
5. Подставим обратно и применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 \sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

г) Вычислим значение выражения $5^{\log_{\sqrt[3]{5}} 2}$.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.
2. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt[3]{5}} 2 = \log_{5^{1/3}} 2 = \frac{1}{1/3} \log_5 2 = 3 \log_5 2$.
3. Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_5 2 = \log_5 2^3 = \log_5 8$.
4. Подставим в исходное выражение:
$5^{\log_{\sqrt[3]{5}} 2} = 5^{\log_5 8}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: 8

д) Вычислим значение выражения $6^{\log_{\sqrt[3]{6}} 3}$. Решение аналогично пункту г).
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt[3]{6} = 6^{1/3}$.
2. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt[3]{6}} 3 = \log_{6^{1/3}} 3 = \frac{1}{1/3} \log_6 3 = 3 \log_6 3$.
3. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_6 3 = \log_6 3^3 = \log_6 27$.
4. Подставим в исходное выражение:
$6^{\log_{\sqrt[3]{6}} 3} = 6^{\log_6 27}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 27} = 27$.
Ответ: 27

е) Вычислим значение выражения $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2}$. Решение аналогично пункту в).
1. Представим основание степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.
2. Подставим в исходное выражение:
$(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2} = (5^{1/3})^{\log_5 2}$.
3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^{1/3})^{\log_5 2} = 5^{\frac{1}{3} \log_5 2}$.
4. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ к показателю степени:
$\frac{1}{3} \log_5 2 = \log_5 2^{1/3} = \log_5 \sqrt[3]{2}$.
5. Подставим обратно и применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$