Номер 4.53, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.53, страница 147.

4.53° Перечислите свойства функции $y = a^x$ для:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$.

Какие свойства функции $y = a^x$ являются общими для этих двух случаев?

а) $a > 1$

Перечислим основные свойства показательной функции $y = a^x$ для случая, когда основание $a$ больше единицы ($a > 1$).

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что $x$ может быть любым числом.
• Множество значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что $y$ всегда больше нуля.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
• Пересечение с осями координат:
  • График пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; 1)$, так как при $x = 0$, $y = a^0 = 1$.
  • График не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как уравнение $a^x = 0$ не имеет решений (функция всегда положительна). Нулей у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Асимптоты: ось абсцисс ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.
• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Основные свойства функции $y = a^x$ при $a > 1$: область определения — $(-\infty; +\infty)$; множество значений — $(0; +\infty)$; функция является строго возрастающей; проходит через точку $(0; 1)$; непрерывна на всей области определения; не имеет нулей и экстремумов; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

б) $0 < a < 1$

Перечислим основные свойства показательной функции $y = a^x$ для случая, когда основание $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Пересечение с осями координат:
  • График пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; 1)$, так как при $x = 0$, $y = a^0 = 1$.
  • График не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как функция всегда положительна. Нулей у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Асимптоты: ось абсцисс ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.
• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Основные свойства функции $y = a^x$ при $0 < a < 1$: область определения — $(-\infty; +\infty)$; множество значений — $(0; +\infty)$; функция является строго убывающей; проходит через точку $(0; 1)$; непрерывна на всей области определения; не имеет нулей и экстремумов; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Какие свойства функции $y = a^x$ являются общими для этих двух случаев?

Несмотря на различие в монотонности, показательная функция $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) имеет ряд общих свойств как для случая $a>1$, так и для случая $0 < a < 1$.

• Область определения — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений — множество всех положительных действительных чисел: $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции всегда проходит через точку $(0; 1)$.
• Функция не имеет нулей (график не пересекает ось $Ox$).
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой графика.
• Функция не имеет точек экстремума (максимумов или минимумов).
• Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Общие свойства функции $y=a^x$ для случаев $a>1$ и $0 < a < 1$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (0; +\infty)$; график проходит через точку $(0; 1)$; функция непрерывна; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой; функция не имеет нулей и экстремумов.