Номер 4.50, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

4.7. Понятие степени с иррациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.50, страница 143.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№4.50 (с. 143)
Условие. №4.50 (с. 143)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 143, номер 4.50, Условие

4.50 Постройте неубывающую последовательность, пределом которой является число $2^\pi$ $(\pi = 3,1415926...)$.

Решение 1. №4.50 (с. 143)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 143, номер 4.50, Решение 1
Решение 2. №4.50 (с. 143)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 143, номер 4.50, Решение 2
Решение 3. №4.50 (с. 143)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 143, номер 4.50, Решение 3
Решение 4. №4.50 (с. 143)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 143, номер 4.50, Решение 4
Решение 5. №4.50 (с. 143)

Для построения необходимой последовательности мы будем использовать последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу $\pi$. В качестве такой последовательности удобно взять десятичные приближения числа $\pi$ с недостатком.

Пусть $p_n$ — это число $\pi$, округленное до $n$-го знака после запятой в меньшую сторону. Запишем несколько первых членов этой последовательности:

$p_0 = 3$

$p_1 = 3,1$

$p_2 = 3,14$

$p_3 = 3,141$

и так далее. Общий член этой последовательности $\{p_n\}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$ можно выразить формулой с использованием функции "пол" (целая часть числа):

$p_n = \frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}$

Эта последовательность $\{p_n\}$ обладает двумя важными свойствами:

1. Она является неубывающей. Действительно, при переходе от $p_n$ к $p_{n+1}$ мы либо оставляем $n+1$-й знак десятичного разложения $\pi$ как есть, либо увеличиваем его (если бы он был равен 9, а следующие знаки были бы не все нули, что для $\pi$ не так, но в общем случае возможно для других чисел). Более строго: для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $10\lfloor x \rfloor \le \lfloor 10x \rfloor$. Положив $x = 10^n \pi$, получим $10\lfloor 10^n \pi \rfloor \le \lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor$. Разделив обе части на $10^{n+1}$, получим $\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n} \le \frac{\lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor}{10^{n+1}}$, что означает $p_n \le p_{n+1}$.

2. Она сходится к $\pi$. По построению, $p_n \le \pi < p_n + 10^{-n}$. При $n \to \infty$, $10^{-n} \to 0$, и по теореме о двух милиционерах (сжатой последовательности) $\lim_{n \to \infty} p_n = \pi$.

Теперь определим искомую последовательность $\{a_n\}$ как:

$a_n = 2^{p_n}$

Проверим, удовлетворяет ли последовательность $\{a_n\}$ условиям задачи.

1. Неубывание. Показательная функция $f(x) = 2^x$ с основанием $2 > 1$ является строго возрастающей функцией. Так как последовательность $\{p_n\}$ является неубывающей ($p_n \le p_{n+1}$), то и значения функции для этих членов будут находиться в том же соотношении: $2^{p_n} \le 2^{p_{n+1}}$. Следовательно, $a_n \le a_{n+1}$, и последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей.

2. Предел. Показательная функция $f(x) = 2^x$ непрерывна на всей числовой прямой. В силу свойства непрерывности функции, предел функции от сходящейся последовательности аргументов равен значению функции в точке, равной пределу этой последовательности:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^{p_n} = 2^{\lim_{n \to \infty} p_n} = 2^\pi$

Таким образом, построенная последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей и сходится к $2^\pi$.

Ответ:

Искомой последовательностью является $a_n = 2^{p_n}$, где $p_n$ — это десятичное приближение числа $\pi$ с $n$ знаками после запятой, взятое с недостатком. Общий член последовательности можно записать в виде $a_n = 2^{\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$. Первые члены этой последовательности:

$a_0 = 2^3 = 8$

$a_1 = 2^{3,1}$

$a_2 = 2^{3,14}$

$a_3 = 2^{3,141}$

и т.д.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.50 расположенного на странице 143 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.50 (с. 143), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться