Номер 4.50, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.7. Понятие степени с иррациональным показателем - номер 4.50, страница 143.

Условие.

4.50 Постройте неубывающую последовательность, пределом которой является число $2^\pi$ $(\pi = 3,1415926...)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для построения необходимой последовательности мы будем использовать последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу $\pi$. В качестве такой последовательности удобно взять десятичные приближения числа $\pi$ с недостатком.

Пусть $p_n$ — это число $\pi$, округленное до $n$-го знака после запятой в меньшую сторону. Запишем несколько первых членов этой последовательности:

$p_0 = 3$

$p_1 = 3,1$

$p_2 = 3,14$

$p_3 = 3,141$

и так далее. Общий член этой последовательности $\{p_n\}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$ можно выразить формулой с использованием функции "пол" (целая часть числа):

$p_n = \frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}$

Эта последовательность $\{p_n\}$ обладает двумя важными свойствами:

1. Она является неубывающей. Действительно, при переходе от $p_n$ к $p_{n+1}$ мы либо оставляем $n+1$-й знак десятичного разложения $\pi$ как есть, либо увеличиваем его (если бы он был равен 9, а следующие знаки были бы не все нули, что для $\pi$ не так, но в общем случае возможно для других чисел). Более строго: для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $10\lfloor x \rfloor \le \lfloor 10x \rfloor$. Положив $x = 10^n \pi$, получим $10\lfloor 10^n \pi \rfloor \le \lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor$. Разделив обе части на $10^{n+1}$, получим $\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n} \le \frac{\lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor}{10^{n+1}}$, что означает $p_n \le p_{n+1}$.

2. Она сходится к $\pi$. По построению, $p_n \le \pi < p_n + 10^{-n}$. При $n \to \infty$, $10^{-n} \to 0$, и по теореме о двух милиционерах (сжатой последовательности) $\lim_{n \to \infty} p_n = \pi$.

Теперь определим искомую последовательность $\{a_n\}$ как:

$a_n = 2^{p_n}$

Проверим, удовлетворяет ли последовательность $\{a_n\}$ условиям задачи.

1. Неубывание. Показательная функция $f(x) = 2^x$ с основанием $2 > 1$ является строго возрастающей функцией. Так как последовательность $\{p_n\}$ является неубывающей ($p_n \le p_{n+1}$), то и значения функции для этих членов будут находиться в том же соотношении: $2^{p_n} \le 2^{p_{n+1}}$. Следовательно, $a_n \le a_{n+1}$, и последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей.

2. Предел. Показательная функция $f(x) = 2^x$ непрерывна на всей числовой прямой. В силу свойства непрерывности функции, предел функции от сходящейся последовательности аргументов равен значению функции в точке, равной пределу этой последовательности:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^{p_n} = 2^{\lim_{n \to \infty} p_n} = 2^\pi$

Таким образом, построенная последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей и сходится к $2^\pi$.

Ответ:

Искомой последовательностью является $a_n = 2^{p_n}$, где $p_n$ — это десятичное приближение числа $\pi$ с $n$ знаками после запятой, взятое с недостатком. Общий член последовательности можно записать в виде $a_n = 2^{\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$. Первые члены этой последовательности:

$a_0 = 2^3 = 8$

$a_1 = 2^{3,1}$

$a_2 = 2^{3,14}$

$a_3 = 2^{3,141}$

и т.д.