Номер 4.44, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.44, страница 139.
№4.44 (с. 139)
Условие. №4.44 (с. 139)
скриншот условия


4.44* Стороны равностороннего треугольника разделили на 3 равные части. На каждой средней части во внешнюю область построили новый равносторонний треугольник и эту среднюю часть удалили (рис. 38, а). Затем каждую сторону полученной
Рис. 38
фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней части построили новый равносторонний треугольник во внешнюю область и эту среднюю часть удалили (рис. 38, б). Тем же способом получили третью фигуру (рис. 38, в) и т. д.
а) Определите периметр $P_n$ и площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если сторона исходного треугольника равна $a$.
б) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} P_n$. в) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} S_n$.
Решение 1. №4.44 (с. 139)



Решение 2. №4.44 (с. 139)

Решение 3. №4.44 (с. 139)

Решение 4. №4.44 (с. 139)

Решение 5. №4.44 (с. 139)
а) Определите периметр $P_n$ и площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если сторона исходного треугольника равна $a$.
Эта задача описывает построение фрактальной фигуры, известной как снежинка Коха. Исходная фигура (при $n=0$) — это равносторонний треугольник со стороной $a$.
Периметр $P_n$
Периметр исходного треугольника ($F_0$) равен $P_0 = 3a$.
На каждом шаге преобразования каждая сторона фигуры заменяется на 4 новых стороны, каждая из которых в 3 раза короче исходной. Если длина стороны на шаге $k$ была $l_k$, то на шаге $k+1$ она заменяется четырьмя сторонами общей длиной $4 \cdot (l_k/3) = (4/3)l_k$.
Это означает, что периметр фигуры на каждом шаге умножается на коэффициент $4/3$. Таким образом, последовательность периметров $P_0, P_1, P_2, \ldots, P_n$ представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 4/3$.
Периметр $P_n$ после $n$-го преобразования можно найти по формуле:
$P_n = P_0 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.
Площадь $S_n$
Площадь исходного равностороннего треугольника $F_0$ со стороной $a$ равна:
$S_0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
На первом шаге ($n=1$) к исходному треугольнику добавляются 3 новых равносторонних треугольника. Сторона каждого из них равна $a/3$. Площадь каждого такого маленького треугольника равна:
$s_1 = \frac{(a/3)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4 \cdot 9} = \frac{S_0}{9}$.
Площадь, добавленная на первом шаге, равна $3 \cdot s_1 = 3 \cdot \frac{S_0}{9} = \frac{S_0}{3}$.
На $k$-м шаге ($k \ge 1$) мы добавляем новые треугольники на каждой из сторон фигуры, полученной на $(k-1)$-м шаге. Количество сторон на $(k-1)$-м шаге равно $N_{k-1} = 3 \cdot 4^{k-1}$. Сторона добавляемых на $k$-м шаге треугольников равна $l_k = a/3^k$. Площадь каждого из них:
$s_k = \frac{(a/3^k)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{S_0}{9^k}$.
Общая площадь, добавленная на $k$-м шаге, равна произведению количества добавленных треугольников ($N_{k-1}$) на их площадь ($s_k$):
$\Delta S_k = N_{k-1} \cdot s_k = (3 \cdot 4^{k-1}) \cdot \frac{S_0}{9^k} = 3 \cdot 4^{k-1} \cdot \frac{S_0}{9 \cdot 9^{k-1}} = \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}$.
Полная площадь $S_n$ после $n$ преобразований равна сумме исходной площади и всех добавок:
$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \Delta S_k = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}$.
Сумма в этом выражении является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = S_0/3$ и знаменателем $q = 4/9$. По формуле суммы:
$\sum_{k=1}^{n} \frac{S_0}{3} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1} = \frac{S_0}{3} \cdot \frac{1 - (4/9)^n}{1 - 4/9} = \frac{S_0}{3} \cdot \frac{1 - (4/9)^n}{5/9} = \frac{3S_0}{5} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.
Таким образом, общая площадь $S_n$ равна:
$S_n = S_0 + \frac{3S_0}{5} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right) = S_0 \left(1 + \frac{3}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right) = S_0 \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.
Подставляя значение $S_0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, получаем окончательную формулу для площади:
$S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.
Ответ: $P_n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$, $S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.
б) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} P_n$.
Используем формулу для периметра, полученную в пункте а):
$P_n = 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.
Найдём предел этой последовательности при $n \to +\infty$:
$\lim_{n \to +\infty} P_n = \lim_{n \to +\infty} 3a\left(\frac{4}{3}\right)^n$.
Так как основание степени $4/3 > 1$, то $\lim_{n \to +\infty} (4/3)^n = +\infty$.
Поскольку $a > 0$, периметр неограниченно растёт.
Ответ: $+\infty$.
в) Определите предел: $\lim_{n \to +\infty} S_n$.
Используем формулу для площади, полученную в пункте а):
$S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$.
Найдём предел этой последовательности при $n \to +\infty$:
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\right]$.
Так как основание степени $|4/9| < 1$, то предел степенного члена равен нулю: $\lim_{n \to +\infty} (4/9)^n = 0$.
Тогда предел площади равен:
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5} \cdot 0\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{5}$.
Таким образом, площадь фигуры стремится к конечному значению, которое в $8/5$ раз больше площади исходного треугольника.
Ответ: $\frac{2a^2\sqrt{3}}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.44 расположенного на странице 139 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.44 (с. 139), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.