Номер 4.39, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.39, страница 138.

4.39 Определите, сходится ли ряд и если сходится, то вычислите его сумму:

a) $0.8 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + 0.00008 + \dots;$

б) $0.3 + 0.003 + 0.00003 + 0.000003 + \dots;$

в) $0.32 + 0.0032 + 0.000032 + 0.00000032 + \dots;$

г) $0.2 + 0.4 + 0.8 + 1.6 + \dots$

а) $0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 + 0,00008 + ...$
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии $b_1 = 0,8$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{0,08}{0,8} = 0,1$.
Ряд сходится, если модуль его знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В данном случае $|0,1| = 0,1 < 1$, следовательно, ряд сходится.
Сумму сходящейся бесконечной геометрической прогрессии вычисляем по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставив значения, получаем: $S = \frac{0,8}{1-0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{8}{9}$.

б) $0,3 + 0,003 + 0,00003 + 0,0000003 + ...$
Этот ряд также является бесконечной геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0,3$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,003}{0,3} = 0,01$.
Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|0,01| = 0,01 < 1$. Следовательно, ряд сходится.
Вычислим его сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{0,3}{1-0,01} = \frac{0,3}{0,99} = \frac{30}{99} = \frac{10}{33}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{10}{33}$.

в) $0,32 + 0,0032 + 0,000032 + 0,00000032 + ...$
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член $b_1 = 0,32$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,0032}{0,32} = 0,01$.
Так как $|q| = |0,01| = 0,01 < 1$, ряд сходится.
Найдем сумму ряда по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{0,32}{1-0,01} = \frac{0,32}{0,99} = \frac{32}{99}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{32}{99}$.

г) $0,2 + 0,4 + 0,8 + 1,6 + ...$
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член $b_1 = 0,2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,4}{0,2} = 2$.
Ряд является сходящимся, если модуль его знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$). В данном случае $|q| = |2| = 2 \geq 1$.
Так как условие сходимости не выполняется, ряд расходится и не имеет конечной суммы. Это также следует из того, что общий член ряда $b_n = 0,2 \cdot 2^{n-1}$ не стремится к нулю при $n \to \infty$.
Ответ: ряд расходится.