Номер 4.40, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.40, страница 138.

4.40 Докажите, что число $0.\overline{3}$ есть сумма ряда

$0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$

Для доказательства данного утверждения необходимо найти сумму ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$ и показать, что она равна числу $0,(3)$.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией. Определим ее параметры:

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,03}{0,3} = 0,1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей (сходящейся), и ее сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу: $S = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим число $0,(3)$. Это периодическая десятичная дробь, которая по определению равна $0,333\dots$. Переведем ее в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(3)$. Тогда $10x = 3,(3)$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,(3) - 0,(3)$ $9x = 3$ $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Мы получили, что сумма ряда равна $\frac{1}{3}$ и число $0,(3)$ также равно $\frac{1}{3}$. Так как оба значения равны, мы доказали, что число $0,(3)$ является суммой ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$.

Ответ: Сумма ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$ равна $\frac{1}{3}$, и число $0,(3)$ также равно $\frac{1}{3}$, следовательно, утверждение доказано.