Номер 4.42, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.42, страница 138.

4.42 Дан квадрат со стороной $a$. Его половину (площадью $S_1$) закрасили, затем половину оставшейся части квадрата (площадью $S_2$) закрасили и т. д. (рис. 36). Вычислите четыре первые частичные суммы ряда $S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + \ldots$. Вычислите $n$-ю частичную сумму ряда. Сходится ли этот ряд? Если сходится, то какова его сумма?

Рис. 36

Для решения задачи сначала определим площади закрашиваемых областей $S_1, S_2, S_3$ и так далее. Изначальная площадь квадрата со стороной $a$ составляет $S_{общ} = a^2$.

Первая закрашенная площадь $S_1$ — это половина площади квадрата: $S_1 = \frac{1}{2} a^2$.

После этого остается незакрашенная площадь, равная $a^2 - S_1 = \frac{1}{2} a^2$. Вторая закрашенная площадь $S_2$ — это половина оставшейся части: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2\right) = \frac{1}{4} a^2$.

Новая оставшаяся площадь равна $\frac{1}{2} a^2 - S_2 = \frac{1}{4} a^2$. Третья закрашенная площадь $S_3$ — это половина этой новой оставшейся части: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} a^2\right) = \frac{1}{8} a^2$.

Продолжая этот процесс, мы видим, что площади $S_1, S_2, S_3, \dots, S_n, \dots$ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = S_1 = \frac{1}{2} a^2$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{1}{2}$. Общий член ряда имеет вид $S_n = \frac{a^2}{2^n}$.

Вычислите четыре первые частичные суммы ряда

Частичная сумма ряда $P_n$ — это сумма его первых $n$ членов.

• Первая частичная сумма: $P_1 = S_1 = \frac{1}{2} a^2$.
• Вторая частичная сумма: $P_2 = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{4} a^2 = \frac{3}{4} a^2$.
• Третья частичная сумма: $P_3 = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{3}{4} a^2 + \frac{1}{8} a^2 = \frac{7}{8} a^2$.
• Четвертая частичная сумма (сначала найдем $S_4 = \frac{1}{2} S_3 = \frac{1}{16} a^2$): $P_4 = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{7}{8} a^2 + \frac{1}{16} a^2 = \frac{15}{16} a^2$.

Ответ: Первые четыре частичные суммы равны $\frac{1}{2} a^2$, $\frac{3}{4} a^2$, $\frac{7}{8} a^2$ и $\frac{15}{16} a^2$.

Вычислите n-ю частичную сумму ряда

Для нахождения n-й частичной суммы $P_n$ геометрической прогрессии используется формула $P_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

Подставим в формулу значения для нашего ряда: $b_1 = \frac{1}{2} a^2$ и $q = \frac{1}{2}$. $P_n = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Ответ: n-я частичная сумма ряда равна $P_n = a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Сходится ли этот ряд? Если сходится, то какова его сумма?

Ряд сходится, если предел его частичных сумм при $n \to \infty$ существует и конечен. Для геометрического ряда это условие выполняется, если модуль знаменателя $|q| < 1$.

В нашем случае знаменатель $q = \frac{1}{2}$, и его модуль $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, ряд сходится.

Сумму $S$ сходящейся бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ или как предел частичных сумм: $S = \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Поскольку при $n \to \infty$ член $\frac{1}{2^n}$ стремится к нулю, получаем: $S = a^2 (1 - 0) = a^2$.

Этот результат означает, что суммарная площадь всех закрашенных частей в пределе равна площади всего квадрата.

Ответ: Да, ряд сходится. Его сумма равна $a^2$.