Номер 4.41, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.41, страница 138.

4.41 Запишите ряд, сумма которого равна числу:

а) $0,(7) = \frac{7}{9}$

б) $0,(31) = \frac{31}{99}$

в) $0,0(25) = \frac{25}{990} = \frac{5}{198}$

г) $2,3(54) = \frac{2331}{990} = \frac{259}{110}$

Чтобы записать ряд, сумма которого равна заданному числу в виде периодической десятичной дроби, нужно представить эту дробь в виде суммы слагаемых, которые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию или сумму числа и такой прогрессии.

а) 0,(7)

Представим чисто периодическую дробь $0,(7)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,(7) = 0.7777...$

Теперь запишем эту дробь в виде суммы разрядных слагаемых:

$0.7777... = 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = 0.7$, а знаменатель $q = 0.1$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.7}{1-0.1} = \frac{0.7}{0.9} = \frac{7}{9}$, что и является значением дроби $0,(7)$.

Таким образом, искомый ряд:

$0.7 + 0.07 + 0.007 + ...$

Ответ: $0.7 + 0.07 + 0.007 + ...$

б) 0,(31)

Представим чисто периодическую дробь $0,(31)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,(31) = 0.313131...$

Запишем эту дробь в виде суммы слагаемых, где каждое слагаемое представляет собой очередную группу цифр в периоде:

$0.313131... = 0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0.31$, а знаменатель $q = 0.01$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.31}{1-0.01} = \frac{0.31}{0.99} = \frac{31}{99}$, что соответствует значению дроби $0,(31)$.

Искомый ряд:

$0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

Ответ: $0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

в) 0,0(25)

Представим смешанную периодическую дробь $0,0(25)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,0(25) = 0.0252525...$

Запишем эту дробь в виде суммы слагаемых. Период '25' начинается со второго знака после запятой.

$0.0252525... = 0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0.025$, а знаменатель $q = \frac{0.00025}{0.025} = 0.01$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.025}{1-0.01} = \frac{0.025}{0.99} = \frac{25}{990}$, что соответствует значению дроби $0,0(25)$.

Искомый ряд:

$0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

Ответ: $0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

г) 2,3(54)

Представим смешанную периодическую дробь $2,3(54)$ в виде бесконечной десятичной дроби: $2.3545454...$

Эту дробь можно разложить на неповторяющуюся часть и сумму, представляющую повторяющуюся часть:

$2.3545454... = 2.3 + 0.0545454...$

Повторяющуюся часть $0.0545454...$ можно представить в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + ...$

Таким образом, исходное число можно представить в виде суммы, которая и является искомым рядом:

$2.3 + 0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + ...$

Этот ряд состоит из первого члена $a_1=2.3$ и последующих членов, образующих геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 0.054$ и знаменателем $q = 0.01$. Сумма этого ряда равна $2.3(54)$.

Ответ: $2.3 + 0.054 + 0.00054 + ...$