Страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.38 Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots;$

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots;$

в) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} + \dots;$

г) $0{,}1 + 0{,}01 + \dots + (0{,}1)^n + \dots$

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{1/2^2}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.
Так как $|q|=|\frac{1}{2}| < 1$, мы можем применить формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: 1

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/3^2}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$.
Так как $|q|=|\frac{1}{3}| < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.
Так как $|q|=|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $0,1 + 0,01 + \dots + (0,1)^n + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = 0,1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,01}{0,1} = 0,1$.
Так как $|q|=|0,1| < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,1}{1-0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

4.39 Определите, сходится ли ряд и если сходится, то вычислите его сумму:

a) $0.8 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + 0.00008 + \dots;$

б) $0.3 + 0.003 + 0.00003 + 0.000003 + \dots;$

в) $0.32 + 0.0032 + 0.000032 + 0.00000032 + \dots;$

г) $0.2 + 0.4 + 0.8 + 1.6 + \dots$

а) $0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 + 0,00008 + ...$
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии $b_1 = 0,8$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{0,08}{0,8} = 0,1$.
Ряд сходится, если модуль его знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В данном случае $|0,1| = 0,1 < 1$, следовательно, ряд сходится.
Сумму сходящейся бесконечной геометрической прогрессии вычисляем по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставив значения, получаем: $S = \frac{0,8}{1-0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{8}{9}$.

б) $0,3 + 0,003 + 0,00003 + 0,0000003 + ...$
Этот ряд также является бесконечной геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0,3$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,003}{0,3} = 0,01$.
Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|0,01| = 0,01 < 1$. Следовательно, ряд сходится.
Вычислим его сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{0,3}{1-0,01} = \frac{0,3}{0,99} = \frac{30}{99} = \frac{10}{33}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{10}{33}$.

в) $0,32 + 0,0032 + 0,000032 + 0,00000032 + ...$
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Первый член $b_1 = 0,32$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,0032}{0,32} = 0,01$.
Так как $|q| = |0,01| = 0,01 < 1$, ряд сходится.
Найдем сумму ряда по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{0,32}{1-0,01} = \frac{0,32}{0,99} = \frac{32}{99}$.
Ответ: ряд сходится, его сумма равна $\frac{32}{99}$.

г) $0,2 + 0,4 + 0,8 + 1,6 + ...$
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член $b_1 = 0,2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,4}{0,2} = 2$.
Ряд является сходящимся, если модуль его знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$). В данном случае $|q| = |2| = 2 \geq 1$.
Так как условие сходимости не выполняется, ряд расходится и не имеет конечной суммы. Это также следует из того, что общий член ряда $b_n = 0,2 \cdot 2^{n-1}$ не стремится к нулю при $n \to \infty$.
Ответ: ряд расходится.

4.40 Докажите, что число $0.\overline{3}$ есть сумма ряда

$0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$

Для доказательства данного утверждения необходимо найти сумму ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$ и показать, что она равна числу $0,(3)$.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией. Определим ее параметры:

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,03}{0,3} = 0,1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей (сходящейся), и ее сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу: $S = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим число $0,(3)$. Это периодическая десятичная дробь, которая по определению равна $0,333\dots$. Переведем ее в обыкновенную дробь. Пусть $x = 0,(3)$. Тогда $10x = 3,(3)$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,(3) - 0,(3)$ $9x = 3$ $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Мы получили, что сумма ряда равна $\frac{1}{3}$ и число $0,(3)$ также равно $\frac{1}{3}$. Так как оба значения равны, мы доказали, что число $0,(3)$ является суммой ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$.

Ответ: Сумма ряда $0,3 + 0,03 + 0,003 + \dots$ равна $\frac{1}{3}$, и число $0,(3)$ также равно $\frac{1}{3}$, следовательно, утверждение доказано.

4.41 Запишите ряд, сумма которого равна числу:

а) $0,(7) = \frac{7}{9}$

б) $0,(31) = \frac{31}{99}$

в) $0,0(25) = \frac{25}{990} = \frac{5}{198}$

г) $2,3(54) = \frac{2331}{990} = \frac{259}{110}$

Чтобы записать ряд, сумма которого равна заданному числу в виде периодической десятичной дроби, нужно представить эту дробь в виде суммы слагаемых, которые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию или сумму числа и такой прогрессии.

а) 0,(7)

Представим чисто периодическую дробь $0,(7)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,(7) = 0.7777...$

Теперь запишем эту дробь в виде суммы разрядных слагаемых:

$0.7777... = 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = 0.7$, а знаменатель $q = 0.1$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.7}{1-0.1} = \frac{0.7}{0.9} = \frac{7}{9}$, что и является значением дроби $0,(7)$.

Таким образом, искомый ряд:

$0.7 + 0.07 + 0.007 + ...$

Ответ: $0.7 + 0.07 + 0.007 + ...$

б) 0,(31)

Представим чисто периодическую дробь $0,(31)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,(31) = 0.313131...$

Запишем эту дробь в виде суммы слагаемых, где каждое слагаемое представляет собой очередную группу цифр в периоде:

$0.313131... = 0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0.31$, а знаменатель $q = 0.01$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.31}{1-0.01} = \frac{0.31}{0.99} = \frac{31}{99}$, что соответствует значению дроби $0,(31)$.

Искомый ряд:

$0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

Ответ: $0.31 + 0.0031 + 0.000031 + ...$

в) 0,0(25)

Представим смешанную периодическую дробь $0,0(25)$ в виде бесконечной десятичной дроби:

$0,0(25) = 0.0252525...$

Запишем эту дробь в виде суммы слагаемых. Период '25' начинается со второго знака после запятой.

$0.0252525... = 0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 0.025$, а знаменатель $q = \frac{0.00025}{0.025} = 0.01$. Сумма этой прогрессии равна $\frac{b_1}{1-q} = \frac{0.025}{1-0.01} = \frac{0.025}{0.99} = \frac{25}{990}$, что соответствует значению дроби $0,0(25)$.

Искомый ряд:

$0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

Ответ: $0.025 + 0.00025 + 0.0000025 + ...$

г) 2,3(54)

Представим смешанную периодическую дробь $2,3(54)$ в виде бесконечной десятичной дроби: $2.3545454...$

Эту дробь можно разложить на неповторяющуюся часть и сумму, представляющую повторяющуюся часть:

$2.3545454... = 2.3 + 0.0545454...$

Повторяющуюся часть $0.0545454...$ можно представить в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + ...$

Таким образом, исходное число можно представить в виде суммы, которая и является искомым рядом:

$2.3 + 0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + ...$

Этот ряд состоит из первого члена $a_1=2.3$ и последующих членов, образующих геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 0.054$ и знаменателем $q = 0.01$. Сумма этого ряда равна $2.3(54)$.

Ответ: $2.3 + 0.054 + 0.00054 + ...$

4.42 Дан квадрат со стороной $a$. Его половину (площадью $S_1$) закрасили, затем половину оставшейся части квадрата (площадью $S_2$) закрасили и т. д. (рис. 36). Вычислите четыре первые частичные суммы ряда $S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + \ldots$. Вычислите $n$-ю частичную сумму ряда. Сходится ли этот ряд? Если сходится, то какова его сумма?

Рис. 36

Для решения задачи сначала определим площади закрашиваемых областей $S_1, S_2, S_3$ и так далее. Изначальная площадь квадрата со стороной $a$ составляет $S_{общ} = a^2$.

Первая закрашенная площадь $S_1$ — это половина площади квадрата: $S_1 = \frac{1}{2} a^2$.

После этого остается незакрашенная площадь, равная $a^2 - S_1 = \frac{1}{2} a^2$. Вторая закрашенная площадь $S_2$ — это половина оставшейся части: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2\right) = \frac{1}{4} a^2$.

Новая оставшаяся площадь равна $\frac{1}{2} a^2 - S_2 = \frac{1}{4} a^2$. Третья закрашенная площадь $S_3$ — это половина этой новой оставшейся части: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} a^2\right) = \frac{1}{8} a^2$.

Продолжая этот процесс, мы видим, что площади $S_1, S_2, S_3, \dots, S_n, \dots$ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = S_1 = \frac{1}{2} a^2$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{1}{2}$. Общий член ряда имеет вид $S_n = \frac{a^2}{2^n}$.

Частичная сумма ряда $P_n$ — это сумма его первых $n$ членов.

• Первая частичная сумма: $P_1 = S_1 = \frac{1}{2} a^2$.
• Вторая частичная сумма: $P_2 = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{4} a^2 = \frac{3}{4} a^2$.
• Третья частичная сумма: $P_3 = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{3}{4} a^2 + \frac{1}{8} a^2 = \frac{7}{8} a^2$.
• Четвертая частичная сумма (сначала найдем $S_4 = \frac{1}{2} S_3 = \frac{1}{16} a^2$): $P_4 = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{7}{8} a^2 + \frac{1}{16} a^2 = \frac{15}{16} a^2$.

Ответ: Первые четыре частичные суммы равны $\frac{1}{2} a^2$, $\frac{3}{4} a^2$, $\frac{7}{8} a^2$ и $\frac{15}{16} a^2$.

Для нахождения n-й частичной суммы $P_n$ геометрической прогрессии используется формула $P_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

Подставим в формулу значения для нашего ряда: $b_1 = \frac{1}{2} a^2$ и $q = \frac{1}{2}$. $P_n = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Ответ: n-я частичная сумма ряда равна $P_n = a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Ряд сходится, если предел его частичных сумм при $n \to \infty$ существует и конечен. Для геометрического ряда это условие выполняется, если модуль знаменателя $|q| < 1$.

В нашем случае знаменатель $q = \frac{1}{2}$, и его модуль $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Следовательно, ряд сходится.

Сумму $S$ сходящейся бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ или как предел частичных сумм: $S = \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} a^2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$.

Поскольку при $n \to \infty$ член $\frac{1}{2^n}$ стремится к нулю, получаем: $S = a^2 (1 - 0) = a^2$.

Этот результат означает, что суммарная площадь всех закрашенных частей в пределе равна площади всего квадрата.

Ответ: Да, ряд сходится. Его сумма равна $a^2$.