Страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.33 С помощью определения бесконечно большой величины (через $M$ и $N$) докажите, что переменная $x_n$ — бесконечно большая величина, если:

а) $x_n = 5n$;

б) $x_n = -2n$;

в) $x_n = \frac{n+5}{3}$;

г) $x_n = \frac{n^2+9}{n}$;

д) $x_n = \frac{n^2-1000}{n}$;

е) $x_n = \frac{n^2-9}{n}$.

Для доказательства того, что переменная $x_n$ является бесконечно большой величиной, воспользуемся определением.

Последовательность $x_n$ называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого положительного числа $M > 0$, существует такое натуральное число $N$ (зависящее от $M$), что для всех натуральных чисел $n > N$ выполняется неравенство $|x_n| > M$.

а) $x_n = 5n$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Нам нужно доказать, что существует такое число $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n| > M$.

Составим неравенство: $|5n| > M$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $5n > 0$, и модуль можно опустить: $5n > M$.

Выразим $n$ из этого неравенства: $n > \frac{M}{5}$.

Таким образом, если мы выберем в качестве $N$ целую часть числа $\frac{M}{5}$, то есть $N = \lfloor \frac{M}{5} \rfloor$, то для любого $n > N$ будет выполняться $n > \frac{M}{5}$, а следовательно, и $|x_n| > M$.

Это доказывает, что последовательность $x_n = 5n$ является бесконечно большой величиной.

Ответ: Доказано.

б) $x_n = -2n$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Нам нужно доказать, что существует такое число $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n| > M$.

Составим неравенство: $|-2n| > M$.

Поскольку $n \ge 1$, то $|-2n| = 2n$. Неравенство принимает вид: $2n > M$.

Выразим $n$: $n > \frac{M}{2}$.

Выберем $N = \lfloor \frac{M}{2} \rfloor$. Тогда для любого натурального $n > N$ будет верно $n > \frac{M}{2}$, что равносильно $2n > M$, и, следовательно, $|x_n| > M$.

Таким образом, последовательность $x_n = -2n$ является бесконечно большой величиной.

Ответ: Доказано.

в) $x_n = \frac{n+5}{3}$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Нужно найти такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n| > M$.

Составим неравенство: $|\frac{n+5}{3}| > M$.

Так как $n \ge 1$, выражение $\frac{n+5}{3}$ всегда положительно, поэтому модуль можно убрать: $\frac{n+5}{3} > M$.

Решим неравенство относительно $n$:$n+5 > 3M$$n > 3M - 5$

Выберем $N$ так, чтобы оно было не меньше, чем $3M-5$. Например, можно положить $N = \max(1, \lfloor 3M - 5 \rfloor)$. Для любого $n > N$ будет выполняться неравенство $n > 3M-5$, а значит, и $|x_n| > M$.

Следовательно, последовательность $x_n = \frac{n+5}{3}$ является бесконечно большой величиной.

Ответ: Доказано.

г) $x_n = \frac{n^2+9}{n}$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Ищем такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n| > M$.

Преобразуем выражение для $x_n$: $x_n = \frac{n^2+9}{n} = n + \frac{9}{n}$.

Поскольку $n \ge 1$, $x_n$ всегда положителен, поэтому $|x_n| = x_n$. Неравенство имеет вид: $n + \frac{9}{n} > M$.

Заметим, что для любого натурального $n$ справедливо $n + \frac{9}{n} > n$. Поэтому, если мы обеспечим выполнение более сильного неравенства $n > M$, то исходное неравенство также будет выполняться.

Итак, решим неравенство $n > M$. Выберем $N = \lfloor M \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет верно $n > M$.

А раз $n > M$, то $x_n = n + \frac{9}{n} > n > M$, то есть $|x_n| > M$.

Таким образом, мы показали, что $x_n = \frac{n^2+9}{n}$ — бесконечно большая величина.

Ответ: Доказано.

д) $x_n = \frac{n^2-1000}{n}$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Ищем такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n| > M$.

Преобразуем выражение: $x_n = n - \frac{1000}{n}$.

При $n > \sqrt{1000} \approx 31.6$, то есть при $n \ge 32$, $x_n$ положителен. Тогда $|x_n| = n - \frac{1000}{n}$.

Рассмотрим неравенство $n - \frac{1000}{n} > M$. Для упрощения оценки найдем такое $n_0$, что при $n > n_0$ будет выполняться $n - \frac{1000}{n} > \frac{n}{2}$. Это эквивалентно $\frac{n}{2} > \frac{1000}{n}$, или $n^2 > 2000$, что верно при $n > \sqrt{2000} \approx 44.7$. То есть, при $n \ge 45$ имеем $|x_n| > \frac{n}{2}$.

Теперь, чтобы выполнялось $|x_n| > M$, достаточно потребовать, чтобы $\frac{n}{2} > M$, откуда $n > 2M$.

Итак, нам нужно, чтобы одновременно выполнялись два условия: $n \ge 45$ и $n > 2M$. Выберем $N = \max(44, \lfloor 2M \rfloor)$. Тогда для любого $n > N$ оба условия будут выполнены. Следовательно, $|x_n| = n - \frac{1000}{n} > \frac{n}{2} > \frac{2M}{2} = M$.

Мы нашли требуемое $N$, что доказывает, что $x_n = \frac{n^2-1000}{n}$ является бесконечно большой величиной.

Ответ: Доказано.

е) $x_n = \frac{n^2-9}{n}$

Возьмем произвольное число $M > 0$. Ищем такое $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n| > M$.

Преобразуем выражение: $x_n = n - \frac{9}{n}$.

При $n > 3$, $x_n$ положителен. Тогда $|x_n| = n - \frac{9}{n}$.

Рассмотрим неравенство $n - \frac{9}{n} > M$. Найдем такое $n_0$, что при $n > n_0$ будет выполняться $n - \frac{9}{n} > \frac{n}{2}$. Это эквивалентно $\frac{n}{2} > \frac{9}{n}$, или $n^2 > 18$, что верно при $n > \sqrt{18} \approx 4.24$. То есть, при $n \ge 5$ имеем $|x_n| > \frac{n}{2}$.

Теперь, чтобы выполнялось $|x_n| > M$, достаточно потребовать, чтобы $\frac{n}{2} > M$, откуда $n > 2M$.

Итак, нам нужно, чтобы одновременно выполнялись два условия: $n \ge 5$ и $n > 2M$. Выберем $N = \max(4, \lfloor 2M \rfloor)$. Тогда для любого $n > N$ оба условия будут выполнены. Следовательно, $|x_n| = n - \frac{9}{n} > \frac{n}{2} > \frac{2M}{2} = M$.

Мы нашли требуемое $N$, что доказывает, что $x_n = \frac{n^2-9}{n}$ является бесконечно большой величиной.

Ответ: Доказано.