Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.9° Может ли быть отрицательным числом степень с рациональным показателем положительного числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим определение степени с рациональным показателем. Пусть у нас есть число $a$, возведенное в степень $r$, где $a > 0$ и $r$ – рациональное число.

Любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$).

По определению, для положительного основания $a$ степень с рациональным показателем вычисляется по формуле:

$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Проанализируем это выражение в два этапа:

1. Рассмотрим подкоренное выражение $a^m$.
Поскольку основание $a$ является положительным числом ($a > 0$), то любая его целая степень $m$ также будет положительным числом.

• Если $m > 0$, то $a^m$ – это произведение положительных чисел, результат которого положителен.
• Если $m = 0$, то $a^0 = 1$, что является положительным числом.
• Если $m < 0$ (например, $m = -k$, где $k > 0$), то $a^m = a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Так как $a^k > 0$, то и $\frac{1}{a^k} > 0$.

Следовательно, выражение $a^m$ всегда положительно при $a > 0$.

2. Рассмотрим корень $n$-й степени.
Теперь нам нужно найти значение $\sqrt[n]{a^m}$. Мы выяснили, что подкоренное выражение $a^m$ положительно. Арифметический корень $n$-й степени из положительного числа по определению является положительным числом. То есть, если $b > 0$, то и $\sqrt[n]{b} > 0$.

Таким образом, результат возведения положительного числа в любую рациональную степень всегда является положительным числом. Он не может быть ни отрицательным, ни равным нулю.

Ответ: Нет, степень с рациональным показателем положительного числа не может быть отрицательным числом, она всегда положительна.

4.10 По какому правилу: а) умножают; б) делят степени с рациональным показателем одного и того же положительного числа?

а) При умножении степеней с рациональными показателями, имеющих одинаковое положительное основание, используется правило, аналогичное правилу для целых показателей. Согласно этому правилу, основание степени оставляют без изменений, а показатели степеней складывают. Если имеется положительное число $a$ ($a > 0$) и два рациональных показателя $p$ и $q$, то их произведение будет равно $a$ в степени, равной сумме $p$ и $q$.
Формула умножения степеней: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.
Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

б) При делении степеней с рациональными показателями и одинаковым положительным основанием, основание также оставляют прежним, но из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это правило является прямым обобщением свойства деления степеней с целыми показателями. Для любого положительного числа $a$ ($a > 0$) и любых рациональных чисел $p$ и $q$, частное от деления $a^p$ на $a^q$ вычисляется по следующей формуле.
Формула деления степеней: $a^p : a^q = a^{p-q}$.
Ответ: Чтобы разделить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя: $a^p : a^q = a^{p-q}$.

4.11 По какому правилу возводят в степень с рациональным показателем степень положительного числа?

Возведение степени положительного числа в степень с рациональным показателем производят по правилу умножения показателей. Это правило гласит, что для возведения степени в степень необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

Данное правило является обобщением соответствующего свойства для степеней с целыми показателями на случай рациональных показателей. Оно формулируется следующим образом:

Для любого положительного числа $a$ ($a > 0$) и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливо равенство:

$ (a^p)^q = a^{p \cdot q} $

Пример:

Вычислим значение выражения $ (81^{3/4})^{1/2} $.

Здесь основание $a = 81$, первый показатель $p = 3/4$, второй показатель $q = 1/2$.

Применяя правило, перемножаем показатели:

$ (81^{3/4})^{1/2} = 81^{(3/4) \cdot (1/2)} = 81^{3/8} $.

Для вычисления можно представить $81$ как $3^4$:

$ (3^4)^{3/8} = 3^{4 \cdot (3/8)} = 3^{12/8} = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $.

Этот же результат можно получить, вычисляя по шагам:

1. Сначала вычислим внутреннюю степень: $ 81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 $.

2. Затем возведем полученный результат в степень $1/2$: $ (27)^{1/2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $.

Совпадение результатов подтверждает верность правила.

Ответ: Степень положительного числа возводят в степень с рациональным показателем по правилу умножения показателей: основание степени оставляют без изменений, а показатели перемножают. Формула этого правила: $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, где $a > 0$, а $p$ и $q$ — рациональные числа.

4.12 Чему равна степень с рациональным показателем:

а) произведения положительных чисел;

б) частного положительных чисел?

а) произведения положительных чисел;

Степень с рациональным показателем от произведения положительных чисел равна произведению степеней этих чисел, возведенных в тот же показатель. Это свойство является прямым обобщением аналогичного правила для степеней с целыми показателями.

Для любых положительных чисел $a > 0$, $b > 0$ и любого рационального числа $p$ справедливо следующее равенство:

$(ab)^p = a^p b^p$

Таким образом, чтобы возвести произведение в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень каждый из сомножителей и результаты перемножить.

Ответ: произведению степеней сомножителей с тем же показателем: $(ab)^p = a^p b^p$.

б) частного положительных чисел?

Степень с рациональным показателем от частного (дроби) положительных чисел равна частному степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя), возведенных в тот же показатель.

Для любых положительных чисел $a > 0$, $b > 0$ и любого рационального числа $p$ справедливо следующее равенство:

$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

Таким образом, чтобы возвести дробь в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности, а затем первый результат разделить на второй.

Ответ: частному степеней делимого и делителя с тем же показателем: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

4.13 Если $a > 1$, то каким должно быть рациональное число $r$,

чтобы выполнялось неравенство:

а) $a^r > 1$;

б) $a^r < 1$?

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$. По условию, основание степени $a > 1$.

Ключевым свойством для нас является то, что показательная функция с основанием, большим единицы, является строго возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$, и наоборот, из неравенства $a^{x_1} > a^{x_2}$ следует $x_1 > x_2$.

Также отметим, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$. Мы будем сравнивать $a^r$ с $a^0$.

а)

Рассмотрим неравенство $a^r > 1$.

Заменим в правой части неравенства $1$ на $a^0$:

$a^r > a^0$

Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей с сохранением знака неравенства:

$r > 0$

Следовательно, для выполнения неравенства $a^r > 1$ при $a > 1$ рациональное число $r$ должно быть положительным.

Ответ: $r$ — любое положительное рациональное число, то есть $r > 0$.

б)

Рассмотрим неравенство $a^r < 1$.

Снова заменим $1$ на $a^0$:

$a^r < a^0$

Так как основание $a > 1$ и функция является возрастающей, меньшему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак:

$r < 0$

Следовательно, для выполнения неравенства $a^r < 1$ при $a > 1$ рациональное число $r$ должно быть отрицательным.

Ответ: $r$ — любое отрицательное рациональное число, то есть $r < 0$.

4.14 Сравните $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа и $r_1 > r_2$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$.

Для сравнения чисел $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$ необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$. Характер монотонности этой функции (возрастание или убывание) зависит от значения её основания $a$.

а)

В данном случае основание степени $a > 1$. Показательная функция с основанием, большим единицы, является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

По условию задачи, показатели степеней $r_1$ и $r_2$ являются рациональными числами, и выполняется неравенство $r_1 > r_2$.

Поскольку функция $y=a^x$ при $a>1$ возрастает, то большему показателю степени соответствует большее значение степени. Таким образом, из $r_1 > r_2$ следует, что $a^{r_1} > a^{r_2}$.

Альтернативное рассуждение:

Рассмотрим частное двух данных чисел: $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}}$. Используя свойство степеней, получаем $a^{r_1 - r_2}$.

Так как по условию $r_1 > r_2$, то их разность $r_1 - r_2$ есть положительное число. Обозначим его как $d = r_1 - r_2$, где $d > 0$.

Нам нужно определить, больше или меньше единицы значение $a^d$. Поскольку основание $a > 1$, а показатель $d > 0$, то $a^d > 1$.

Следовательно, $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} > 1$. Так как $a>0$, то $a^{r_2}$ — положительное число, и мы можем умножить обе части неравенства на $a^{r_2}$, сохранив знак неравенства: $a^{r_1} > a^{r_2}$.

Ответ: $a^{r_1} > a^{r_2}$.

б)

В этом случае основание степени удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция с основанием, находящимся в интервале от 0 до 1, является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ (знак неравенства меняется на противоположный).

По условию задачи, $r_1 > r_2$.

Поскольку функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ убывает, то большему показателю степени соответствует меньшее значение степени. Таким образом, из $r_1 > r_2$ следует, что $a^{r_1} < a^{r_2}$.

Альтернативное рассуждение:

Рассмотрим частное двух данных чисел: $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}$.

Так как $r_1 > r_2$, то разность $d = r_1 - r_2$ является положительным числом ($d>0$).

Нам нужно определить, больше или меньше единицы значение $a^d$. Поскольку основание $0 < a < 1$, а показатель $d > 0$, то $0 < a^d < 1$.

Следовательно, $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} < 1$. Умножая обе части неравенства на положительное число $a^{r_2}$, получаем $a^{r_1} < a^{r_2}$.

Ответ: $a^{r_1} < a^{r_2}$.

4.15 Пусть числа $a$ и $r$ таковы, что $0 < a < 1$, $r$ — рациональное число. Докажите, что если:

а) $r < 0$, то $a^r > 1$;

б) $r > 0$, то $0 < a^r < 1$.

а) Дано, что $0 < a < 1$ и $r$ — рациональное число, причем $r < 0$. Докажем, что $a^r > 1$. Так как $r$ — отрицательное рациональное число, представим его в виде $r = -s$, где $s$ — положительное рациональное число ($s > 0$). В свою очередь, $s$ можно представить в виде дроби $s = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Таким образом, $r = -\frac{m}{n}$. Исходное неравенство $a^r > 1$ принимает вид $a^{-\frac{m}{n}} > 1$. По свойству степеней, $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$. Неравенство можно переписать как $\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} > 1$. Так как $a > 0$, то и $a^{\frac{m}{n}}$ — положительное число, поэтому можно умножить обе части на него, сохранив знак неравенства: $1 > a^{\frac{m}{n}}$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $a^{\frac{m}{n}} < 1$ (очевидно, что $a^{\frac{m}{n}} > 0$). Исходим из данного неравенства $0 < a < 1$. Так как функция возведения в натуральную степень $m$ является возрастающей для положительных чисел, то $a^m < 1^m$, то есть $a^m < 1$. Аналогично, функция извлечения натурального корня степени $n$ также является возрастающей, поэтому из $a^m < 1$ следует, что $\sqrt[n]{a^m} < \sqrt[n]{1}$, то есть $a^{\frac{m}{n}} < 1$. Мы доказали, что $a^{\frac{m}{n}}$ является числом, меньшим 1 (и большим 0). Следовательно, обратное к нему число $\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ будет больше 1. Это означает, что $a^r > 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Дано, что $0 < a < 1$ и $r$ — рациональное число, причем $r > 0$. Докажем, что $0 < a^r < 1$. Так как $r$ — положительное рациональное число, представим его в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Нам нужно доказать, что $0 < a^{\frac{m}{n}} < 1$. Левая часть неравенства, $a^r > 0$, очевидна, так как основание $a$ положительно. Докажем правую часть: $a^r < 1$. Исходим из данного неравенства $0 < a < 1$. Так как функция возведения в натуральную степень $m$ является возрастающей для положительных чисел, то из $a < 1$ следует $a^m < 1^m$, то есть $a^m < 1$. Аналогично, функция извлечения натурального корня степени $n$ также является возрастающей, поэтому из $a^m < 1$ следует, что $\sqrt[n]{a^m} < \sqrt[n]{1}$, то есть $a^{\frac{m}{n}} < 1$. Таким образом, мы показали, что $a^r < 1$. Объединяя два результата, получаем $0 < a^r < 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

4.16 Найдите ошибку в «доказательстве»:

$-1 = (-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1.$

Ошибка в представленном "доказательстве" заключается в неверном применении свойств степеней. Рассмотрим всю цепочку равенств: $$ -1 = (-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 $$

Первые два равенства верны: $-1 = (-1)^1$ и $1 = \frac{2}{2}$, поэтому запись $(-1)^{\frac{2}{2}}$ корректна и равна $-1$ (так как показатель степени $\frac{2}{2} = 1$).

Ошибка возникает на третьем шаге, в равенстве $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$. Это преобразование пытается использовать свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, где $a=-1$, $m=2$ и $n=\frac{1}{2}$.

Данное свойство справедливо не для всех случаев. Оно гарантированно выполняется, когда основание $a$ является положительным числом ($a > 0$). Если же основание $a$ отрицательное, как в нашем случае ($a = -1$), то свойство $(a^m)^n = a^{mn}$ может нарушаться, если показатель $n$ не является целым числом. Здесь $n=\frac{1}{2}$ — дробный показатель.

Чтобы убедиться в ошибке, вычислим значения левой и правой частей этого равенства:

Левая часть: $(-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^1 = -1$.

Правая часть: $((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = (1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, равенство $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ является ложным. Именно этот неверный шаг приводит к парадоксальному выводу, что $-1=1$.

Ответ: Ошибка допущена в равенстве $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$. Она заключается в неправомерном применении свойства $(a^m)^n = a^{mn}$ для отрицательного основания ($a=-1$) и нецелого показателя ($n=\frac{1}{2}$), для которых это свойство не выполняется.