Номер 4.13, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.13, страница 129.

4.13 Если $a > 1$, то каким должно быть рациональное число $r$,

чтобы выполнялось неравенство:

а) $a^r > 1$;

б) $a^r < 1$?

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$. По условию, основание степени $a > 1$.

Ключевым свойством для нас является то, что показательная функция с основанием, большим единицы, является строго возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$, и наоборот, из неравенства $a^{x_1} > a^{x_2}$ следует $x_1 > x_2$.

Также отметим, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$. Мы будем сравнивать $a^r$ с $a^0$.

а)

Рассмотрим неравенство $a^r > 1$.

Заменим в правой части неравенства $1$ на $a^0$:

$a^r > a^0$

Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей с сохранением знака неравенства:

$r > 0$

Следовательно, для выполнения неравенства $a^r > 1$ при $a > 1$ рациональное число $r$ должно быть положительным.

Ответ: $r$ — любое положительное рациональное число, то есть $r > 0$.

б)

Рассмотрим неравенство $a^r < 1$.

Снова заменим $1$ на $a^0$:

$a^r < a^0$

Так как основание $a > 1$ и функция является возрастающей, меньшему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак:

$r < 0$

Следовательно, для выполнения неравенства $a^r < 1$ при $a > 1$ рациональное число $r$ должно быть отрицательным.

Ответ: $r$ — любое отрицательное рациональное число, то есть $r < 0$.