Номер 4.8, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.8, страница 125.

4.8 ИССЛЕДУЕМ

Для каждого значения параметра a решите уравнение

$\sqrt[3]{a} = a \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Для решения данного уравнения с параметром $a$ относительно переменной $x$, необходимо рассмотреть различные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

Исходное уравнение:

$\sqrt[3]{a} = a \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Учитывая, что $x^{\frac{1}{3}}$ эквивалентно $\sqrt[3]{x}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sqrt[3]{a} = a \cdot \sqrt[3]{x}$

Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

Подставим значение $a = 0$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{0} = 0 \cdot \sqrt[3]{x}$

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a=0$ решением уравнения является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$

Если параметр $a$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$, так как $a \neq 0$:

$\frac{\sqrt[3]{a}}{a} = \sqrt[3]{x}$

Упростим выражение в левой части, используя свойства степеней ($\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$):

$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^1} = a^{\frac{1}{3}-1} = a^{-\frac{2}{3}}$

Теперь уравнение принимает вид:

$a^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(a^{-\frac{2}{3}})^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$a^{-\frac{2}{3} \cdot 3} = x$

$a^{-2} = x$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень:

$x = \frac{1}{a^2}$

Объединим полученные результаты.

Ответ:

Если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Если $a \neq 0$, то $x = \frac{1}{a^2}$.