Страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.6 Вычислите:

a) $25^{1/2}$, $49^{1/2}$, $27^{1/3}$, $16^{0.25}$, $100^{0.5}$;

б) $16^{3/4}$, $27^{2/3}$, $25^{2.5}$, $8^{5/3}$, $27^{4/3}$;

в) $8^{-2/3}$, $16^{-3/2}$, $64^{-5/6}$, $32^{-0.4}$;

г) $(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{1/2}$; д) $(0.01)^{-1/2} \cdot (6.25)^{-0.5}$.

а) Для вычисления используем свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$;
$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$;
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$;
$16^{0,25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$;
$100^{0,5} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 5; 7; 3; 2; 10.

б) Используем свойство $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$.
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$;
$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$;
$25^{2,5} = 25^{\frac{5}{2}} = (5^2)^{\frac{5}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 5^5 = 3125$;
$8^{\frac{5}{3}} = (2^3)^{\frac{5}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{5}{3}} = 2^5 = 32$;
$27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 3^4 = 81$.
Ответ: 8; 9; 3125; 32; 81.

в) Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(2^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$;
$16^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(4^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$;
$64^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{64^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{(2^6)^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$;
$32^{-0,4} = 32^{-\frac{4}{10}} = 32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{(2^5)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{64}$; $\frac{1}{32}$; $\frac{1}{4}$.

г) Используем свойства $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}} = (\frac{7}{2})^2 \cdot \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7^2}{2^2} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{49}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{343}{20} = 17,15$.
Ответ: 17,15.

д) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и используем свойства степеней.
$0,01 = \frac{1}{100}$; $6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4}$; $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
$(0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6,25)^{-0,5} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{25}{4})^{-\frac{1}{2}} = (100)^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4$.
Ответ: 4.

4.7 Объясните, почему для любого положительного числа $a$ верно равенство:

а) $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a;$

б) $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a;$

в) $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a;$

г) $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a.$

а) Данное равенство верно, поскольку оно основано на свойстве возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применив это свойство к левой части равенства, получаем: $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$. Также это равенство следует непосредственно из определения корня третьей степени (или степени с показателем $\frac{1}{3}$): $a^{\frac{1}{3}}$ — это такое число, куб которого равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

б) Это равенство также верно благодаря свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Преобразуем левую часть: $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$. Левая часть выражения равна правой, что и требовалось объяснить.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

в) Для доказательства верности этого равенства снова используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Выполним преобразование: $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$. Данное равенство также является определением квадратного корня (степени с показателем $\frac{1}{2}$): $a^{\frac{1}{2}}$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

г) Это равенство верно для любого положительного числа $a$. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$. Важно подчеркнуть, что это равенство справедливо именно потому, что по условию $a > 0$. В общем случае для любого действительного числа $a$ было бы верно равенство $(a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2} = |a|$. Но поскольку $a$ положительно, $|a| = a$.

Ответ: Равенство верно для положительного $a$, так как по свойству степеней $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$.

4.8 ИССЛЕДУЕМ

Для каждого значения параметра a решите уравнение

$\sqrt[3]{a} = a \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Для решения данного уравнения с параметром $a$ относительно переменной $x$, необходимо рассмотреть различные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

Исходное уравнение:

$\sqrt[3]{a} = a \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Учитывая, что $x^{\frac{1}{3}}$ эквивалентно $\sqrt[3]{x}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sqrt[3]{a} = a \cdot \sqrt[3]{x}$

Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

Подставим значение $a = 0$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{0} = 0 \cdot \sqrt[3]{x}$

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a=0$ решением уравнения является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$

Если параметр $a$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$, так как $a \neq 0$:

$\frac{\sqrt[3]{a}}{a} = \sqrt[3]{x}$

Упростим выражение в левой части, используя свойства степеней ($\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$):

$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^1} = a^{\frac{1}{3}-1} = a^{-\frac{2}{3}}$

Теперь уравнение принимает вид:

$a^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(a^{-\frac{2}{3}})^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$a^{-\frac{2}{3} \cdot 3} = x$

$a^{-2} = x$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень:

$x = \frac{1}{a^2}$

Объединим полученные результаты.

Ответ:

Если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Если $a \neq 0$, то $x = \frac{1}{a^2}$.