Страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.23 Может ли значение выражения:

а) $\frac{x^1 - x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}} + 0,25^{-1,5} - 9(x - 2)^0$ равняться 1;

б) $\frac{x^{\frac{3}{5}} - 2x^{-\frac{3}{5}}}{x^{\frac{3}{5}} - 2x^{-\frac{2}{5}}} - 0,04^{-0,5} + 2(x + 1)^0$ равняться -4?

а)

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли значение выражения равняться 1, сначала упростим данное выражение. Выражение: $\frac{x^{1\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}} + 0,25^{-1,5} - 9 (x - 2)^0$.

1. Упростим дробь. Для этого вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе $x^{1\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$. Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ за скобки: $x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} - 1) = x^{\frac{1}{3}}(x^1 - 1) = x^{\frac{1}{3}}(x - 1)$. В знаменателе $x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{2}{3}}$. Вынесем $x^{-\frac{2}{3}}$ за скобки: $x^{-\frac{2}{3}}(x^{\frac{1}{3}-(-\frac{2}{3})} - 1) = x^{-\frac{2}{3}}(x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} - 1) = x^{-\frac{2}{3}}(x^1 - 1) = x^{-\frac{2}{3}}(x - 1)$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{x^{\frac{1}{3}}(x - 1)}{x^{-\frac{2}{3}}(x - 1)} = x^{\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})} = x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = x^1 = x$. Это преобразование верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^{-\frac{2}{3}}(x - 1) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ (из-за $x^{-\frac{2}{3}}$) и $x \neq 1$.

2. Вычислим значение $0,25^{-1,5}$. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,25 = \frac{1}{4}$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$. $0,25^{-1,5} = (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

3. Упростим выражение $9 (x - 2)^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Таким образом, это выражение определено только при $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. При этом условии $9 (x - 2)^0 = 9 \cdot 1 = 9$.

4. Объединим все части. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ всего выражения определяется совокупностью условий: $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq 2$. При всех $x$ из ОДЗ исходное выражение можно записать в виде: $x + 8 - 9 = x - 1$.

5. Проверим, может ли упрощенное выражение равняться 1. Для этого решим уравнение: $x - 1 = 1$ $x = 2$

Однако, значение $x = 2$ не входит в область допустимых значений выражения, так как при $x = 2$ компонент $(x-2)^0$ не определен. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение исходного выражения равнялось бы 1.

Ответ: не может.

б)

Рассмотрим второе выражение и выясним, может ли его значение равняться -4. Выражение: $\frac{x^{1\frac{3}{5}} - 2x^{\frac{3}{5}}}{x^{\frac{3}{5}} - 2x^{-\frac{2}{5}}} - 0,04^{-0,5} + 2 (x + 1)^0$.

1. Упростим дробную часть. Числитель: $x^{1\frac{3}{5}} - 2x^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{8}{5}} - 2x^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}}(x^{\frac{8}{5}-\frac{3}{5}} - 2) = x^{\frac{3}{5}}(x - 2)$. Знаменатель: $x^{\frac{3}{5}} - 2x^{-\frac{2}{5}} = x^{-\frac{2}{5}}(x^{\frac{3}{5}-(-\frac{2}{5})} - 2) = x^{-\frac{2}{5}}(x^1 - 2) = x^{-\frac{2}{5}}(x - 2)$. Результат деления: $\frac{x^{\frac{3}{5}}(x - 2)}{x^{-\frac{2}{5}}(x - 2)} = x^{\frac{3}{5} - (-\frac{2}{5})} = x^{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}} = x^1 = x$. Это преобразование имеет смысл, если знаменатель не равен нулю: $x^{-\frac{2}{5}}(x-2) \neq 0$, что означает $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

2. Вычислим значение $-0,04^{-0,5}$. $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$, а $-0,5 = -\frac{1}{2}$. $-0,04^{-0,5} = -(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = -(25^{\frac{1}{2}}) = -\sqrt{25} = -5$.

3. Упростим выражение $2 (x + 1)^0$. Это выражение определено при $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. При этом условии $2 (x + 1)^0 = 2 \cdot 1 = 2$.

4. Объединим все части. ОДЗ для всего выражения: $x \neq -1$, $x \neq 0$, $x \neq 2$. На ОДЗ выражение упрощается до: $x - 5 + 2 = x - 3$.

5. Проверим, может ли полученное выражение равняться -4. Решим уравнение: $x - 3 = -4$ $x = -4 + 3$ $x = -1$

Найденное значение $x = -1$ не входит в область допустимых значений, так как при $x = -1$ компонент $(x+1)^0$ не определен. Таким образом, не существует такого $x$, при котором значение исходного выражения было бы равно -4.

Ответ: не может.