Страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение1 (4.17–4.20):

4.17 а) $x^{0,5} \cdot x^{0,25};$

Б) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}};$

В) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5};$

Г) $b \cdot b^{-\frac{2}{3}};$

Д) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a;$

е) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}};$

ж) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}};$

З) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}.$

а) Чтобы упростить выражение $x^{0,5} \cdot x^{0,25}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — $0,5$ и $0,25$. Складываем показатели: $0,5 + 0,25 = 0,75$. Таким образом, получаем: $x^{0,5} \cdot x^{0,25} = x^{0,5+0,25} = x^{0,75}$. Ответ: $x^{0,75}$.

б) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$ применим правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}}$. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Тогда сумма показателей будет равна $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Итоговое выражение: $a^{\frac{5}{6}}$. Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$.

в) Упростим выражение $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5}$. Для этого сложим показатели степеней. Сначала представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Теперь сложим показатели: $\frac{5}{8} + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{1}{2}$. Приводя к общему знаменателю 8, получаем: $\frac{5}{8} - \frac{4}{8} = \frac{1}{8}$. Следовательно, $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5} = x^{\frac{1}{8}}$. Ответ: $x^{\frac{1}{8}}$.

г) Рассмотрим выражение $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$. Степень переменной $b$ равна 1 ($b = b^1$). Смешанное число $-1\frac{2}{3}$ переведем в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$. Теперь воспользуемся свойством умножения степеней: $b^1 \cdot b^{-\frac{5}{3}} = b^{1 + (-\frac{5}{3})} = b^{1 - \frac{5}{3}}$. Вычислим разность показателей: $1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$. Результат: $b^{-\frac{2}{3}}$. Ответ: $b^{-\frac{2}{3}}$.

д) Для упрощения $a^{\frac{3}{5}} \cdot a$ учтем, что $a$ можно записать как $a^1$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием, складываем их показатели: $a^{\frac{3}{5}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{5} + 1}$. Представим 1 как $\frac{5}{5}$ и сложим дроби: $\frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{8}{5}$. Таким образом, выражение равно $a^{\frac{8}{5}}$. Ответ: $a^{\frac{8}{5}}$.

е) Упростим выражение $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}$. Складываем показатели степеней с одинаковым основанием: $\frac{3}{8} + (-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{8} = 0$. Получаем $a^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}} = a^0 = 1$ (при условии $a \neq 0$). Ответ: $1$.

ж) Рассмотрим произведение трех степеней $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$. Для упрощения нужно сложить все показатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. Найдем общий знаменатель для дробей 2, 4 и 3, он равен 12. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$. Теперь сложим их: $\frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{6+3+4}{12} = \frac{13}{12}$. Результат: $y^{\frac{13}{12}}$. Ответ: $y^{\frac{13}{12}}$.

з) Упростим выражение $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}$ путем сложения показателей степеней: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}$. Общий знаменатель для 3, 4 и 6 равен 12. Преобразуем дроби: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. Сумма показателей равна $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{8+9+10}{12} = \frac{27}{12}$. Эту дробь можно сократить на 3: $\frac{27 \div 3}{12 \div 3} = \frac{9}{4}$. Итоговое выражение: $z^{\frac{9}{4}}$. Ответ: $z^{\frac{9}{4}}$.

4.18 а) $125^{1.5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$;

б) $2^{1.25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$;

в) $x^2 \cdot \sqrt{x}$;

г) $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$;

д) $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$;

е) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$;

ж) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$;

з) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$.

а) Для упрощения выражения $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$ приведем основания степеней к общему основанию 5. Известно, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в выражение:

$(5^3)^{1,5} \cdot (5^2)^{-\frac{3}{4}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{3 \cdot 1,5} \cdot 5^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 5^{4,5} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$

Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели. Для этого представим $4,5$ в виде дроби $\frac{9}{2}$:

$5^{\frac{9}{2}} \cdot 5^{-\frac{3}{2}} = 5^{\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3$

Вычисляем результат:

$5^3 = 125$

Ответ: $125$

б) Чтобы упростить выражение $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$, приведем основание 16 к основанию 2. Так как $16 = 2^4$, выражение принимает вид:

$2^{1,25} \cdot (2^4)^{\frac{1}{16}}$

По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{1,25} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{4}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$

Переведем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную $\frac{5}{4}$ и сложим показатели по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Представим результат в виде корня:

$2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) В выражении $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$ представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение принимает вид:

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели:

$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$

Ответ: $x$

г) В выражении $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$ представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Получаем произведение степеней с одинаковым основанием:

$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Складываем показатели, приведя их к общему знаменателю 12:

$x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}} = x^{\frac{7}{12}}$

Ответ: $x^{\frac{7}{12}}$

д) В выражении $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$ представим корень в виде степени: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

Выражение принимает вид:

$a^{-\frac{1}{2}} : a^{\frac{1}{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$a^{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{-1}$

Запишем результат в виде дроби:

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

е) Для упрощения $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$ представим корень в виде степени: $\sqrt[5]{z^2} = z^{\frac{2}{5}}$.

Получаем деление степеней с одинаковым основанием:

$z^{\frac{2}{3}} : z^{\frac{2}{5}}$

Вычитаем показатели, предварительно приведя дроби к общему знаменателю 15:

$z^{\frac{2}{3} - \frac{2}{5}} = z^{\frac{10}{15} - \frac{6}{15}} = z^{\frac{4}{15}}$

Ответ: $z^{\frac{4}{15}}$

ж) В выражении $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$ представим корень четвертой степени в виде степени с показателем $\frac{1}{4}$: $\sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}}$.

Выражение принимает вид:

$m^{\frac{1}{4}} : m^{-\frac{1}{2}}$

При делении степеней вычитаем показатели:

$m^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$

Приводим показатели к общему знаменателю 4 и складываем:

$m^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = m^{\frac{3}{4}}$

Ответ: $m^{\frac{3}{4}}$

з) В выражении $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$ представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.

Получаем:

$a^{\frac{1}{3}} : a^{-\frac{1}{6}}$

Вычитаем показатели степеней:

$a^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6 и складываем:

$a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$

Результат можно записать в виде квадратного корня:

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Ответ: $\sqrt{a}$

4.19 a) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}}$;

б) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : x^{-\frac{3}{16}}$.

а)

Для упрощения данного выражения представим корни в виде степеней с дробными показателями и воспользуемся свойствами степеней. Знак квадратного корня эквивалентен возведению в степень $\frac{1}{2}$.

Упростим выражение с вложенными корнями $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$, двигаясь изнутри наружу:

1. Сначала преобразуем самый внутренний корень: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

2. Подставим это в следующее выражение под корнем: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1+\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}$.

3. Теперь извлечем из этого корень: $\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}$.

4. Подставим полученное выражение под самый внешний корень: $a\sqrt{a\sqrt{a}} = a \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{1+\frac{3}{4}} = a^{\frac{7}{4}}$.

5. Наконец, извлечем внешний корень: $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = \sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = (a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}$.

Теперь, когда мы упростили первую часть выражения, выполним умножение, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8} - \frac{1}{8}} = a^{\frac{6}{8}} = a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

б)

Данное выражение упрощается аналогично предыдущему. Преобразуем вложенные корни в степени с дробными показателями.

Упростим выражение $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}$, двигаясь изнутри наружу:

1. Внутренний корень: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

2. Выражение под следующим корнем: $x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.

3. Извлекая корень, получаем: $\sqrt{x\sqrt{x}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

4. Следующее выражение под корнем: $x\sqrt{x\sqrt{x}} = x \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{1+\frac{3}{4}} = x^{\frac{7}{4}}$.

5. Извлекая корень: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} = (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{8}}$.

6. Выражение под самым внешним корнем: $x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = x \cdot x^{\frac{7}{8}} = x^{1+\frac{7}{8}} = x^{\frac{15}{8}}$.

7. И, наконец, извлекая самый внешний корень: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x^{\frac{15}{8}}} = (x^{\frac{15}{8}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{15}{16}}$.

Теперь выполним деление, используя свойство степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$x^{\frac{15}{16}} : x^{-\frac{3}{16}} = x^{\frac{15}{16} - (-\frac{3}{16})} = x^{\frac{15}{16} + \frac{3}{16}} = x^{\frac{18}{16}} = x^{\frac{9}{8}}$.

Ответ: $x^{\frac{9}{8}}$

4.20 а) $(a^{\frac{1}{2}})^3$;

б) $(x^{\frac{2}{3}})^6$;

в) $(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}}$;

г) $(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}}$;

д) $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$;

е) $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$;

ж) $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$;

з) $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

а) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{2}})^3$ необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В нашем случае основание $x=a$, показатель степени $m = \frac{1}{2}$ и степень, в которую возводится выражение, $n = 3$.

Выполним умножение показателей:$(a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{3}{2}}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к выражению $(x^{\frac{2}{3}})^6$.

Перемножим показатели степеней:$(x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$

Ответ: $x^4$

в) Применим свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к выражению $(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}}$.

Умножим дробные показатели:$(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}} = b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}} = b^{\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}} = b^{\frac{10}{18}} = b^{\frac{5}{9}}$

Ответ: $b^{\frac{5}{9}}$

г) Упростим выражение $(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}}$, используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Выполним умножение и сокращение дробей в показателе:$(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}} = y^{\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{20}} = y^{\frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 20}} = y^{\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5}} = y^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $y^{\frac{3}{5}}$

д) Для выражения $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$ используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и затем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(ab^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{-2} \cdot (b^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{-2} \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = a^{-2}b^{-1}$

Ответ: $a^{-2}b^{-1}$

е) Упростим $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте.

$(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1} = (x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1} = x^{\frac{1}{3} \cdot (-1)} \cdot y^{-1} = x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$

Ответ: $x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$

ж) Для выражения $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$ применим свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень.

$(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$

з) Упростим выражение $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$, используя те же свойства степеней.

$(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot (x^{\frac{4}{5}})^{\frac{3}{4}} \cdot (y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}} y^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{12}{20}}y^{\frac{3}{24}}$

Сократим дроби в показателях степеней: $x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$ и $y^{\frac{3}{24}} = y^{\frac{1}{8}}$.

Итоговое выражение: $2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{1}{8}}$

Ответ: $2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{1}{8}}$

4.21 Вычислите:

a) $(9^{- \frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{- \frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{- \frac{2}{3}})$;

б) $((5\sqrt{5})^{- \frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{- \frac{2}{3}} - 81^{- \frac{1}{4}})$.

а) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Для начала преобразуем член $\sqrt[4]{9^{-1}}$ во второй скобке, чтобы убедиться, что он совпадает с первым членом в первой скобке. Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:

$\sqrt[4]{9^{-1}} = (9^{-1})^{\frac{1}{4}} = 9^{-1 \cdot \frac{1}{4}} = 9^{-\frac{1}{4}}$

Теперь выражение можно записать в виде:

$(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (9^{-\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$

Применяем формулу разности квадратов:

$(9^{-\frac{1}{4}})^2 - ((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2$

Вычислим каждый член по отдельности. Для первого члена используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(9^{-\frac{1}{4}})^2 = 9^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = 9^{-\frac{2}{4}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Для второго члена сначала упростим основание степени $2\sqrt{2}$:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим второй член:

$((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2 = (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Наконец, найдем разность полученных значений:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$

Это выражение, как и предыдущее, является произведением суммы и разности двух чисел. Снова применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Сначала убедимся, что вторые члены в скобках одинаковы. Преобразуем $\sqrt[4]{81^{-1}}$:

$\sqrt[4]{81^{-1}} = (81^{-1})^{\frac{1}{4}} = 81^{-\frac{1}{4}}$

Таким образом, вторые члены в скобках идентичны. Выражение принимает вид:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + 81^{-\frac{1}{4}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$

Применяем формулу разности квадратов:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 - (81^{-\frac{1}{4}})^2$

Вычислим каждый член по отдельности. Для первого члена упростим основание $5\sqrt{5}$:

$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим первый член:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 = (5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Вычислим второй член:

$(81^{-\frac{1}{4}})^2 = 81^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = 81^{-\frac{2}{4}} = 81^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{81}} = \frac{1}{9}$

Теперь найдем разность полученных значений:

$\frac{1}{25} - \frac{1}{9} = \frac{9 \cdot 1 - 25 \cdot 1}{225} = \frac{9-25}{225} = -\frac{16}{225}$

Ответ: $-\frac{16}{225}$.

4.22 Упростите выражение:

a) $\frac{1}{2b^2} - \left(\frac{1}{b^3+3} : \frac{1}{b^2-3^2}\right)^2 : \left(\frac{1}{b^3-3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b-27}\right);$

б) $\left(\frac{4}{a^{1,5}-8} - \frac{a^{0,5}-2}{a+2a^{0,5}+4}\right) \cdot \left(\frac{a^2-8a^{0,5}}{a-16} - \frac{4a^{0,5}}{a^{0,5}+4}\right);$

в) $\left(\frac{a^4(a+1)^{-\frac{1}{3}}}{a^2-1} \cdot \frac{a^4(a-1)^{\frac{1}{3}}}{a^2+1}\right)^{\frac{1}{3}} : \frac{(a+1)^{-\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} \cdot a^{\frac{4}{3}}};$

г) $\left(\left(\frac{b-b^{-\frac{1}{2}}}{1-b^{-\frac{1}{2}}} - \frac{b+b^{-\frac{1}{2}}}{1+b^{-\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7\right);$

а) Выражение в задании, по-видимому, содержит опечатку. Наиболее вероятная форма знаменателя в выражении, возводимом в квадрат, это $b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}$. Решим задачу с этим предположением.

Исходное выражение (с исправлением):
$ \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} : \left(\frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{b^{\frac{3}{2}}}\right) - \left(\frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}}\right)^2 : \left(\frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b - 27}\right) $

1. Упростим первый член:
$ \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{b-3}{b^{\frac{3}{2}}} $
$ \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} : \frac{b-3}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b-3} = \frac{b}{2(b-3)} $

2. Упростим выражение, которое возводится в квадрат:
$ b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b-3}{b^{\frac{1}{2}}} $
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{(b-3)/b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{3}} + 3)}{b-3} $

3. Упростим делитель в последней части:
$ \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b - 27} = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{(b^{\frac{1}{3}})^3 - 3^3} $
$ = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{(b^{\frac{1}{3}}-3)(b^{\frac{2}{3}}+3b^{\frac{1}{3}}+9)} = \frac{b^{\frac{2}{3}}+3b^{\frac{1}{3}}+9 + 3b^{\frac{1}{3}}}{b-27} $
$ = \frac{b^{\frac{2}{3}}+6b^{\frac{1}{3}}+9}{b-27} = \frac{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2}{b-27} $

4. Выполним деление второго члена на третий:
$ \left(\frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{3}} + 3)}{b-3}\right)^2 : \frac{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2}{b-27} = \frac{b(b^{\frac{1}{3}} + 3)^2}{(b-3)^2} \cdot \frac{b-27}{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2} = \frac{b(b-27)}{(b-3)^2} $

5. Соберем все вместе:
$ \frac{b}{2(b-3)} - \frac{b(b-27)}{(b-3)^2} = \frac{b(b-3) - 2b(b-27)}{2(b-3)^2} $
$ = \frac{b^2 - 3b - 2b^2 + 54b}{2(b-3)^2} = \frac{-b^2 + 51b}{2(b-3)^2} = \frac{b(51-b)}{2(b-3)^2} $

Ответ: $ \frac{b(51-b)}{2(b-3)^2} $

б) $ \left(\frac{4}{a^{1,5} - 8} - \frac{a^{0,5} - 2}{a + 2a^{0,5} + 4}\right) \cdot \frac{a^2 - 8a^{0,5}}{a - 16} - \frac{4a^{0,5}}{a^{0,5} + 4} $

1. Введем замену $x = a^{0,5}$. Тогда $a = x^2$, $a^{1,5} = x^3$. Выражение примет вид:
$ \left(\frac{4}{x^3 - 8} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4}\right) \cdot \frac{x^4 - 8x}{x^2 - 16} - \frac{4x}{x + 4} $

2. Упростим выражение в скобках, используя формулу разности кубов $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$:
$ \frac{4}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4 - (x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} $
$ = \frac{4 - (x^2-4x+4)}{x^3 - 8} = \frac{4 - x^2 + 4x - 4}{x^3 - 8} = \frac{4x - x^2}{x^3 - 8} = \frac{x(4-x)}{x^3-8} $

3. Упростим второй множитель:
$ \frac{x^4 - 8x}{x^2 - 16} = \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} $

4. Выполним умножение:
$ \frac{x(4-x)}{x^3-8} \cdot \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} = \frac{-x(x-4)}{x^3-8} \cdot \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} = \frac{-x^2}{x+4} $

5. Выполним вычитание:
$ \frac{-x^2}{x+4} - \frac{4x}{x+4} = \frac{-x^2 - 4x}{x+4} = \frac{-x(x+4)}{x+4} = -x $

6. Вернемся к исходной переменной: $-x = -a^{0,5}$.

Ответ: $ -a^{0,5} $

в) $ \left( \frac{a^{\frac{3}{4}}(a+1)^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}-1} \cdot \frac{a^{\frac{1}{4}}(a-1)^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} \right)^{-\frac{1}{3}} : \frac{(a+1)^{\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} \cdot a^{\frac{4}{3}}} $

1. Упростим выражение в больших скобках. Перемножим дроби:
$ \frac{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{4}}(a+1)^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{-\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}((a+1)(a-1))^{-\frac{1}{3}}}{a-1} = \frac{a(a^2-1)^{-\frac{1}{3}}}{a-1} $
$ = \frac{a}{(a-1)(a^2-1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)((a-1)(a+1))^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)^{1+\frac{1}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)^{\frac{4}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}} $

2. Возведем полученное выражение в степень $-\frac{1}{3}$:
$ \left(\frac{a}{(a-1)^{\frac{4}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{3}} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{(a-1)^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{3})} (a+1)^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{3})}} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{(a-1)^{-\frac{4}{9}}(a+1)^{-\frac{1}{9}}} = a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} $

3. Выполним деление:
$ a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} : \frac{(a+1)^{\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} a^{\frac{4}{3}}} = a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} \cdot \frac{(a-1)^{\frac{7}{9}} a^{\frac{4}{3}}}{(a+1)^{\frac{8}{9}}} $

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$ a^{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}} \cdot (a-1)^{\frac{4}{9}+\frac{7}{9}} \cdot (a+1)^{\frac{1}{9}-\frac{8}{9}} = a^{\frac{3}{3}} \cdot (a-1)^{\frac{11}{9}} \cdot (a+1)^{-\frac{7}{9}} = a(a-1)^{\frac{11}{9}}(a+1)^{-\frac{7}{9}} $

Ответ: $ \frac{a(a-1)^{\frac{11}{9}}}{(a+1)^{\frac{7}{9}}} $

г) В данном выражении, вероятно, допущена опечатка в числителях дробей в скобках. Если предположить, что вместо $b^{-\frac{1}{2}}$ должно быть $b^{\frac{1}{2}}$, выражение значительно упрощается. Решим исправленный вариант:
$ \left( \left( \frac{b-b^{\frac{1}{2}}}{1-b^{\frac{1}{2}}} - \frac{b+b^{\frac{1}{2}}}{1+b^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7 \right)^{\frac{1}{3}} $

1. Упростим дроби в скобках:
$ \frac{b-b^{\frac{1}{2}}}{1-b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}}-1)}{1-b^{\frac{1}{2}}} = -b^{\frac{1}{2}} $
$ \frac{b+b^{\frac{1}{2}}}{1+b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}}+1)}{1+b^{\frac{1}{2}}} = b^{\frac{1}{2}} $

2. Вычислим значение выражения в первых скобках:
$ -b^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = -2b^{\frac{1}{2}} $

3. Выполним умножение и сложение под знаком корня:
$ (-2b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7 = -2b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} + 7 = -1 + 7 = 6 $

4. Возведем в степень $\frac{1}{3}$:
$ 6^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{6} $

Ответ: $ \sqrt[3]{6} $