Номер 4.20, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.20, страница 130.

4.20 а) $(a^{\frac{1}{2}})^3$;

б) $(x^{\frac{2}{3}})^6$;

в) $(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}}$;

г) $(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}}$;

д) $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$;

е) $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$;

ж) $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$;

з) $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

а) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{2}})^3$ необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В нашем случае основание $x=a$, показатель степени $m = \frac{1}{2}$ и степень, в которую возводится выражение, $n = 3$.

Выполним умножение показателей:$(a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{3}{2}}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к выражению $(x^{\frac{2}{3}})^6$.

Перемножим показатели степеней:$(x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$

Ответ: $x^4$

в) Применим свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к выражению $(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}}$.

Умножим дробные показатели:$(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}} = b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}} = b^{\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}} = b^{\frac{10}{18}} = b^{\frac{5}{9}}$

Ответ: $b^{\frac{5}{9}}$

г) Упростим выражение $(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}}$, используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Выполним умножение и сокращение дробей в показателе:$(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}} = y^{\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{20}} = y^{\frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 20}} = y^{\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5}} = y^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $y^{\frac{3}{5}}$

д) Для выражения $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$ используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и затем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(ab^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{-2} \cdot (b^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{-2} \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = a^{-2}b^{-1}$

Ответ: $a^{-2}b^{-1}$

е) Упростим $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте.

$(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1} = (x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1} = x^{\frac{1}{3} \cdot (-1)} \cdot y^{-1} = x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$

Ответ: $x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$

ж) Для выражения $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$ применим свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень.

$(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $3^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$

з) Упростим выражение $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$, используя те же свойства степеней.

$(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot (x^{\frac{4}{5}})^{\frac{3}{4}} \cdot (y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}} y^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{12}{20}}y^{\frac{3}{24}}$

Сократим дроби в показателях степеней: $x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$ и $y^{\frac{3}{24}} = y^{\frac{1}{8}}$.

Итоговое выражение: $2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{1}{8}}$

Ответ: $2^{\frac{3}{4}}x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{1}{8}}$