Номер 4.14, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.14, страница 129.

4.14 Сравните $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа и $r_1 > r_2$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$.

Для сравнения чисел $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$ необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$. Характер монотонности этой функции (возрастание или убывание) зависит от значения её основания $a$.

а)

В данном случае основание степени $a > 1$. Показательная функция с основанием, большим единицы, является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

По условию задачи, показатели степеней $r_1$ и $r_2$ являются рациональными числами, и выполняется неравенство $r_1 > r_2$.

Поскольку функция $y=a^x$ при $a>1$ возрастает, то большему показателю степени соответствует большее значение степени. Таким образом, из $r_1 > r_2$ следует, что $a^{r_1} > a^{r_2}$.

Альтернативное рассуждение:

Рассмотрим частное двух данных чисел: $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}}$. Используя свойство степеней, получаем $a^{r_1 - r_2}$.

Так как по условию $r_1 > r_2$, то их разность $r_1 - r_2$ есть положительное число. Обозначим его как $d = r_1 - r_2$, где $d > 0$.

Нам нужно определить, больше или меньше единицы значение $a^d$. Поскольку основание $a > 1$, а показатель $d > 0$, то $a^d > 1$.

Следовательно, $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} > 1$. Так как $a>0$, то $a^{r_2}$ — положительное число, и мы можем умножить обе части неравенства на $a^{r_2}$, сохранив знак неравенства: $a^{r_1} > a^{r_2}$.

Ответ: $a^{r_1} > a^{r_2}$.

б)

В этом случае основание степени удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция с основанием, находящимся в интервале от 0 до 1, является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ (знак неравенства меняется на противоположный).

По условию задачи, $r_1 > r_2$.

Поскольку функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ убывает, то большему показателю степени соответствует меньшее значение степени. Таким образом, из $r_1 > r_2$ следует, что $a^{r_1} < a^{r_2}$.

Альтернативное рассуждение:

Рассмотрим частное двух данных чисел: $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}$.

Так как $r_1 > r_2$, то разность $d = r_1 - r_2$ является положительным числом ($d>0$).

Нам нужно определить, больше или меньше единицы значение $a^d$. Поскольку основание $0 < a < 1$, а показатель $d > 0$, то $0 < a^d < 1$.

Следовательно, $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} < 1$. Умножая обе части неравенства на положительное число $a^{r_2}$, получаем $a^{r_1} < a^{r_2}$.

Ответ: $a^{r_1} < a^{r_2}$.