Номер 4.9, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.2. Свойства степени с рациональным показателем - номер 4.9, страница 129.

Условие.

4.9° Может ли быть отрицательным числом степень с рациональным показателем положительного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим определение степени с рациональным показателем. Пусть у нас есть число $a$, возведенное в степень $r$, где $a > 0$ и $r$ – рациональное число.

Любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$).

По определению, для положительного основания $a$ степень с рациональным показателем вычисляется по формуле:

$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Проанализируем это выражение в два этапа:

1. Рассмотрим подкоренное выражение $a^m$.
Поскольку основание $a$ является положительным числом ($a > 0$), то любая его целая степень $m$ также будет положительным числом.

• Если $m > 0$, то $a^m$ – это произведение положительных чисел, результат которого положителен.
• Если $m = 0$, то $a^0 = 1$, что является положительным числом.
• Если $m < 0$ (например, $m = -k$, где $k > 0$), то $a^m = a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Так как $a^k > 0$, то и $\frac{1}{a^k} > 0$.

Следовательно, выражение $a^m$ всегда положительно при $a > 0$.

2. Рассмотрим корень $n$-й степени.
Теперь нам нужно найти значение $\sqrt[n]{a^m}$. Мы выяснили, что подкоренное выражение $a^m$ положительно. Арифметический корень $n$-й степени из положительного числа по определению является положительным числом. То есть, если $b > 0$, то и $\sqrt[n]{b} > 0$.

Таким образом, результат возведения положительного числа в любую рациональную степень всегда является положительным числом. Он не может быть ни отрицательным, ни равным нулю.

Ответ: Нет, степень с рациональным показателем положительного числа не может быть отрицательным числом, она всегда положительна.