Номер 4.3, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.3, страница 124.

Запишите в виде корней (4.3–4.5):

4.3 а) $a^{\frac{1}{2}}$, $a^{\frac{1}{3}}$, $b^{\frac{1}{4}}$, $(ac)^{\frac{1}{7}}$, $(kl)^{\frac{1}{20}}$;

б) $(x+1)^{\frac{1}{2}}$, $(a-b)^{\frac{7}{4}}$, $(m+3)^{\frac{1}{4}}$, $(x-y)^{\frac{1}{7}}$.

Для преобразования степени с рациональным показателем в корень используется основное свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ — это основание степени, $n$ — знаменатель дроби, который становится показателем корня, а $m$ — числитель дроби, который становится показателем степени подкоренного выражения. При этом для четных $n$ должно выполняться условие $a \ge 0$.

а)

Для выражения $a^{\frac{1}{2}}$: основание $a$, знаменатель показателя $n=2$ (что соответствует квадратному корню), числитель $m=1$.
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

Для выражения $a^{\frac{1}{3}}$: основание $a$, знаменатель $n=3$, числитель $m=1$.
$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

Для выражения $b^{\frac{1}{4}}$: основание $b$, знаменатель $n=4$, числитель $m=1$.
$b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4]{b}$.
Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

Для выражения $(ac)^{\frac{1}{7}}$: основание $ac$, знаменатель $n=7$, числитель $m=1$.
$(ac)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(ac)^1} = \sqrt[7]{ac}$.
Ответ: $\sqrt[7]{ac}$.

Для выражения $(kl)^{\frac{1}{20}}$: основание $kl$, знаменатель $n=20$, числитель $m=1$.
$(kl)^{\frac{1}{20}} = \sqrt[20]{(kl)^1} = \sqrt[20]{kl}$.
Ответ: $\sqrt[20]{kl}$.

б)

Для выражения $(x+1)^{\frac{1}{2}}$: основание $(x+1)$, знаменатель $n=2$, числитель $m=1$.
$(x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{(x+1)^1} = \sqrt{x+1}$.
Ответ: $\sqrt{x+1}$.

Для выражения $(a-b)^{\frac{7}{4}}$: основание $(a-b)$, знаменатель $n=4$, числитель $m=7$.
$(a-b)^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{(a-b)^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{(a-b)^7}$.

Для выражения $(m+3)^{\frac{1}{4}}$: основание $(m+3)$, знаменатель $n=4$, числитель $m=1$.
$(m+3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(m+3)^1} = \sqrt[4]{m+3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{m+3}$.

Для выражения $(x-y)^{\frac{1}{7}}$: основание $(x-y)$, знаменатель $n=7$, числитель $m=1$.
$(x-y)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(x-y)^1} = \sqrt[7]{x-y}$.
Ответ: $\sqrt[7]{x-y}$.