Номер 3.110, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.110, страница 122.

3.110 Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:

а) $ \sqrt[3]{3} $;

б) $ \sqrt[3]{5} $;

в) $ \sqrt[3]{7} $.

а) Для того чтобы вычислить $\sqrt[3]{3}$ с точностью до третьего знака после запятой, будем последовательно находить приближенное значение $x$, такое что $x^3$ будет максимально близко к 3. Мы будем использовать метод пошагового уточнения.

1. Найдем целую часть числа. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то очевидно, что $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть искомого числа равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой (десятые доли). Будем проверять числа, возводя их в куб:
$1.4^3 = 2.744$ (это меньше 3)
$1.5^3 = 3.375$ (это больше 3)
Отсюда следует, что $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Таким образом, первая цифра после запятой - 4.

3. Найдем вторую цифру после запятой (сотые доли):
$1.44^3 = 1.44 \times 1.44 \times 1.44 = 2.0736 \times 1.44 = 2.985984$ (меньше 3)
$1.45^3 = 1.45 \times 1.45 \times 1.45 = 2.1025 \times 1.45 = 3.048625$ (больше 3)
Следовательно, $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$. Вторая цифра после запятой - 4.

4. Найдем третью цифру после запятой (тысячные доли):
$1.442^3 \approx 2.998437$ (меньше 3)
$1.443^3 \approx 3.004565$ (больше 3)
Следовательно, $1.442 < \sqrt[3]{3} < 1.443$. Третья цифра после запятой - 2.

5. Для корректного округления до третьего знака нам необходимо определить четвертую цифру.
$1.4422^3 \approx 2.99986$ (меньше 3)
$1.4423^3 \approx 3.00047$ (больше 3)
Значит, $1.4422 < \sqrt[3]{3} < 1.4423$. Четвертая цифра после запятой равна 2. По правилам округления, если следующая цифра меньше 5, то предыдущая не изменяется. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$.

б) Вычислим $\sqrt[3]{5}$ с точностью до третьего знака после запятой, используя тот же метод.

1. Целая часть: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Значит, $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Десятые доли:
$1.7^3 = 4.913$ (меньше 5)
$1.8^3 = 5.832$ (больше 5)
Следовательно, $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой - 7.

3. Сотые доли:
$1.70^3 = 4.913$ (меньше 5)
$1.71^3 = 1.71 \times 1.71 \times 1.71 = 5.000211$ (больше 5)
Следовательно, $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$. Вторая цифра после запятой - 0.

4. Тысячные доли:
$1.709^3 \approx 4.99143$ (меньше 5)
$1.710^3 \approx 5.00021$ (больше 5)
Следовательно, $1.709 < \sqrt[3]{5} < 1.710$. Третья цифра после запятой - 9.

5. Округление: Определим четвертую цифру.
$1.7099^3 \approx 4.9993$ (меньше 5)
$1.7100^3 \approx 5.0002$ (больше 5)
Значит, $1.7099 < \sqrt[3]{5} < 1.7100$. Четвертая цифра равна 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. Это означает, что мы должны увеличить третью цифру (9) на единицу. $1.709 + 0.001 = 1.710$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} \approx 1.710$.

в) Вычислим $\sqrt[3]{7}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Целая часть: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Значит, $1 < \sqrt[3]{7} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Десятые доли:
$1.9^3 = 6.859$ (меньше 7)
$2.0^3 = 8$ (больше 7)
Следовательно, $1.9 < \sqrt[3]{7} < 2.0$. Первая цифра после запятой - 9.

3. Сотые доли:
$1.91^3 \approx 6.96787$ (меньше 7)
$1.92^3 \approx 7.07789$ (больше 7)
Следовательно, $1.91 < \sqrt[3]{7} < 1.92$. Вторая цифра после запятой - 1.

4. Тысячные доли:
$1.912^3 \approx 6.98978$ (меньше 7)
$1.913^3 \approx 7.00136$ (больше 7)
Следовательно, $1.912 < \sqrt[3]{7} < 1.913$. Третья цифра после запятой - 2.

5. Округление: Определим четвертую цифру.
$1.9129^3 \approx 6.9999_...$ (меньше 7)
$1.9130^3 \approx 7.0014_...$ (больше 7)
Значит, $1.9129 < \sqrt[3]{7} < 1.9130$. Четвертая цифра равна 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону, то есть увеличиваем третью цифру (2) на единицу.

Ответ: $\sqrt[3]{7} \approx 1.913$.