Номер 3.107, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.107, страница 122.

3.107 Проверьте справедливость неравенств:

а) $3 < \sqrt[3]{30} < 4;$

б) $7 < \sqrt[3]{350} < 8;$

в) $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2;$

г) $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6.$

а) Чтобы проверить справедливость двойного неравенства $3 < \sqrt[3]{30} < 4$, возведем все его части в куб. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей для всех действительных чисел, знаки неравенства сохранятся.

Получаем неравенство: $3^3 < (\sqrt[3]{30})^3 < 4^3$.

Вычислим значения в каждой части: $3^3 = 27$; $(\sqrt[3]{30})^3 = 30$; $4^3 = 64$.

Подставим вычисленные значения обратно в неравенство: $27 < 30 < 64$.

Это неравенство является верным, поскольку $27 < 30$ и $30 < 64$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

б) Для проверки неравенства $7 < \sqrt[3]{350} < 8$ также возведем все его части в третью степень.

Получаем: $7^3 < (\sqrt[3]{350})^3 < 8^3$.

Вычислим значения: $7^3 = 343$; $(\sqrt[3]{350})^3 = 350$; $8^3 = 512$.

Подставим результаты: $343 < 350 < 512$.

Неравенство верное, так как $343 < 350$ и $350 < 512$. Значит, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

в) Проверим справедливость неравенства $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2$. Возведем все части в куб.

Получаем: $(5,1)^3 < (\sqrt[3]{135})^3 < (5,2)^3$.

Вычислим значения: $(5,1)^3 = 132,651$; $(\sqrt[3]{135})^3 = 135$; $(5,2)^3 = 140,608$.

Подставим вычисленные значения: $132,651 < 135 < 140,608$.

Данное неравенство является верным, поскольку $132,651 < 135$ и $135 < 140,608$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

г) Проверим неравенство $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6$. Возведем все части неравенства в третью степень.

Получаем: $(3,5)^3 < (\sqrt[3]{45})^3 < (3,6)^3$.

Вычислим значения: $(3,5)^3 = 42,875$; $(\sqrt[3]{45})^3 = 45$; $(3,6)^3 = 46,656$.

Подставим результаты: $42,875 < 45 < 46,656$.

Неравенство верное, так как $42,875 < 45$ и $45 < 46,656$. Значит, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.