Номер 3.103, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.103, страница 121.

3.103 Является ли рациональным число:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt[3]{64}$;

в) $\sqrt[3]{5}$;

г) $\sqrt[4]{64}$?

Для того чтобы определить, является ли число рациональным, необходимо проверить, можно ли его представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Корень $k$-ой степени из натурального числа является рациональным числом тогда и только тогда, когда подкоренное число является точной $k$-ой степенью некоторого натурального числа.

а)

Рассмотрим число $\sqrt{4}$. Необходимо найти такое число, квадрат которого равен 4. Таким числом является 2, поскольку $2^2 = 4$. Число 2 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $2 = \frac{2}{1}$.

Ответ: да, является.

б)

Рассмотрим число $\sqrt[3]{64}$. Необходимо найти такое число, куб которого равен 64. Таким числом является 4, поскольку $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Число 4 является целым, следовательно, оно является и рациональным числом ($4 = \frac{4}{1}$).

Ответ: да, является.

в)

Рассмотрим число $\sqrt[3]{5}$. Проверим, является ли 5 точной третьей (кубической) степенью какого-либо целого числа. $1^3 = 1$, а $2^3 = 8$. Так как $1 < 5 < 8$, не существует целого числа, куб которого равен 5. Следовательно, $\sqrt[3]{5}$ не является целым числом. Согласно свойству корней, если корень $k$-ой степени из натурального числа не является натуральным числом, то он является иррациональным числом. Таким образом, $\sqrt[3]{5}$ — иррациональное число.

Ответ: нет, не является.

г)

Рассмотрим число $\sqrt[4]{64}$. Проверим, является ли 64 точной четвертой степенью какого-либо целого числа. $2^4 = 16$, а $3^4 = 81$. Так как $16 < 64 < 81$, не существует целого числа, четвертая степень которого равна 64. Следовательно, число $\sqrt[4]{64}$ является иррациональным. Выражение можно упростить: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{8^2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то и произведение $2\sqrt{2}$ также является иррациональным.

Ответ: нет, не является.