Номер 3.96, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.96, страница 121.

3.96° Может ли быть рациональным числом корень степени n ($n \geq 2$):
a) из простого числа;
б) из натурального числа?

а)

Рассмотрим корень степени $n$ из простого числа $p$, где $n \geq 2$. Предположим, что это число является рациональным. То есть, $\sqrt[n]{p} = \frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и дробь $\frac{a}{b}$ несократима (наибольший общий делитель $НОД(a,b)=1$).

Возведем обе части равенства в степень $n$:

$p = \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Отсюда получаем $p \cdot b^n = a^n$.

Из этого равенства следует, что $a^n$ делится на простое число $p$. Согласно лемме Евклида, если произведение нескольких сомножителей делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число. Так как $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$, то $a$ должно делиться на $p$.

Значит, $a$ можно представить в виде $a = k \cdot p$ для некоторого натурального числа $k$.

Подставим это выражение для $a$ обратно в уравнение $p \cdot b^n = a^n$:

$p \cdot b^n = (k \cdot p)^n = k^n \cdot p^n$

Разделим обе части на $p$ (это возможно, так как $p$ — простое число, а значит $p \neq 0$):

$b^n = k^n \cdot p^{n-1}$

По условию $n \geq 2$, поэтому $n-1 \geq 1$. Это означает, что правая часть равенства делится на $p$. Следовательно, и левая часть $b^n$ также должна делиться на $p$.

Аналогично, применяя лемму Евклида к $b^n$, мы заключаем, что $b$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы получили, что и $a$, и $b$ делятся на $p$. Это означает, что их общий делитель не меньше $p$, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима ($НОД(a,b)=1$).

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt[n]{p}$ является рациональным числом, неверно. Корень степени $n \geq 2$ из простого числа не может быть рациональным числом.

Ответ: нет.

б)

Рассмотрим корень степени $n$ из натурального числа $N$, где $n \geq 2$. Вопрос в том, может ли $\sqrt[n]{N}$ быть рациональным числом.

Общая теорема гласит, что если корень степени $n$ из натурального числа $N$ является рациональным числом, то он должен быть целым числом. Доказательство этого факта аналогично рассуждению из пункта а). Пусть $\sqrt[n]{N} = \frac{a}{b}$, где $\frac{a}{b}$ — несократимая дробь ($a, b \in \mathbb{N}, НОД(a,b)=1$). Тогда $N \cdot b^n = a^n$. Если предположить, что $b > 1$, то у $b$ есть простой делитель $p$. Тогда $p$ делит $b$, а значит $p$ делит $b^n$. Следовательно, $p$ делит $a^n$, и, по лемме Евклида, $p$ делит $a$. Это противоречит тому, что $НОД(a,b)=1$. Значит, предположение $b > 1$ неверно, и $b$ должно быть равно 1. Таким образом, если $\sqrt[n]{N}$ рационально, то оно обязано быть целым числом.

Теперь вопрос сводится к следующему: может ли $\sqrt[n]{N}$ быть целым числом? Да, это возможно. Это происходит в том и только в том случае, когда натуральное число $N$ является точной $n$-ой степенью некоторого натурального числа $k$.

То есть, если $N = k^n$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$, то $\sqrt[n]{N} = \sqrt[n]{k^n} = k$. А любое натуральное (и, следовательно, целое) число $k$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$.

Приведем примеры:

• При $n=2$ и $N=4$, $\sqrt[2]{4} = 2$. Число 2 — рациональное.
• При $n=3$ и $N=27$, $\sqrt[3]{27} = 3$. Число 3 — рациональное.
• При $n=4$ и $N=81$, $\sqrt[4]{81} = 3$. Число 3 — рациональное.

Поскольку существуют натуральные числа, корень n-ой степени из которых является рациональным числом (а именно, целым числом), то ответ на вопрос — да.

Ответ: да.