Номер 3.91, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.91, страница 119.

3.91 Какова область изменения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при:

а) чётном $n$;

б) нечётном $n$?

Область изменения функции (также называемая множеством значений функции) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$. Рассмотрим два случая в зависимости от чётности показателя корня $n$.

а) чётном n;
Когда $n$ является чётным натуральным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$), функция имеет вид $y = \sqrt[n]{x}$.
1. Область определения: Корень чётной степени в поле действительных чисел определён только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, область определения этой функции — $x \in [0; +\infty)$.
2. Множество значений: По определению, арифметический корень чётной степени $\sqrt[n]{x}$ — это такое неотрицательное число $y$, которое при возведении в степень $n$ даёт $x$. Из этого определения следует, что $y$ не может быть отрицательным, то есть $y \ge 0$.
Проверим, достигаются ли все неотрицательные значения. Возьмём любое число $c \ge 0$ и попробуем найти такое $x$, чтобы $y = c$.
$c = \sqrt[n]{x}$
Возводя обе части в чётную степень $n$, получаем:
$x = c^n$
Поскольку $c \ge 0$, то и $x = c^n \ge 0$. Такое значение $x$ входит в область определения функции. Это означает, что для любого неотрицательного числа $c$ можно найти соответствующее значение $x$. Например, для $y=0$ имеем $x=0^n=0$; для $y=2$ имеем $x=2^n$.
Таким образом, когда $n$ чётное, функция $y = \sqrt[n]{x}$ может принимать любые значения от 0 до $+\infty$.
Ответ: Множество значений функции — это луч $[0; +\infty)$.

б) нечётном n?
Когда $n$ является нечётным натуральным числом, большим единицы ($n = 3, 5, 7, \dots$), функция имеет вид $y = \sqrt[n]{x}$.
1. Область определения: Корень нечётной степени определён для любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Множество значений: Значение корня нечётной степени может быть любым действительным числом. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Если $x=0$, то $y=0$.
Проверим, достигаются ли все действительные значения. Возьмём любое действительное число $c$ и попробуем найти такое $x$, чтобы $y = c$.
$c = \sqrt[n]{x}$
Возводя обе части в нечётную степень $n$, получаем:
$x = c^n$
Для любого действительного числа $c$ (положительного, отрицательного или нуля) значение $x = c^n$ является действительным числом и входит в область определения. Это означает, что для любого действительного числа $c$ можно найти соответствующее значение $x$. Например, для $y=-2$ имеем $x=(-2)^n$, что является отрицательным числом, так как $n$ нечётно.
Таким образом, когда $n$ нечётное, функция $y = \sqrt[n]{x}$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: Множество значений функции — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.