Номер 3.85, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.85 Известно, что:

а) $ \sqrt[3]{a} > 1 $;

б) $ \sqrt[3]{a} < 1 $.

Верно ли, что $ a > 1 $; $ a > 0 $?

а)

Дано неравенство $\sqrt[3]{a} > 1$. Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что при возведении обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень знак неравенства сохраняется. Возведем обе части данного неравенства в третью степень: $(\sqrt[3]{a})^3 > 1^3$ $a > 1$ Следовательно, утверждение, что $a > 1$, является верным.

Теперь рассмотрим утверждение $a > 0$. Поскольку мы доказали, что $a > 1$, а любое число, которое больше 1, очевидно, больше 0, то неравенство $a > 0$ также выполняется. Следовательно, утверждение, что $a > 0$, является верным.

Ответ: Оба утверждения ($a > 1$ и $a > 0$) верны.

б)

Дано неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$. Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части неравенства в третью степень, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt[3]{a})^3 < 1^3$ $a < 1$

Рассмотрим утверждение $a > 1$. Мы получили, что $a < 1$. Это прямо противоречит утверждению $a > 1$. Следовательно, утверждение, что $a > 1$, является неверным.

Теперь рассмотрим утверждение $a > 0$. Из условия $a < 1$ не следует, что $a$ обязательно положительно. Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в том числе и из отрицательного. Приведем контрпример. Пусть $a = -8$. Тогда $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$ выполняется, так как $-2 < 1$. Однако для $a = -8$ утверждение $a > 0$ неверно, потому что $-8 < 0$. Так как мы нашли значение $a$, при котором исходное условие выполняется, а проверяемое утверждение — нет, то в общем случае утверждение, что $a > 0$, является неверным.

Ответ: Оба утверждения ($a > 1$ и $a > 0$) неверны.