Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.82 Сформулируйте свойства функции $y = \sqrt[n]{x} (x \geq 0)$. Какая кривая является графиком этой функции?

Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ (при $x \ge 0$ и натуральном $n \ge 2$)

• Область определения: В условии задано, что $x \ge 0$. Таким образом, областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел: $D(y) = [0, +\infty)$.
• Область значений: Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа является неотрицательным числом. При $x=0$, $y=0$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел: $E(y) = [0, +\infty)$.
• Четность и нечетность: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
• Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y=0$: $\sqrt[n]{x} = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Таким образом, график функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $\sqrt[n]{x} > 0$, что выполняется для всех $x > 0$. Таким образом, $y > 0$ на интервале $(0, +\infty)$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\sqrt[n]{x_1} < \sqrt[n]{x_2}$.
• Основные точки: График функции всегда проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, поскольку $\sqrt[n]{0}=0$ и $\sqrt[n]{1}=1$ для любого натурального $n \ge 2$.
• Выпуклость: На интервале $(0, +\infty)$ функция является выпуклой вверх (вогнутой). Это означает, что ее график "изгибается" вниз.

Ответ: Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \ge 0$) перечислены выше.

Какая кривая является графиком этой функции?

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$. Эта функция является обратной к степенной функции $y = x^n$ при $x \ge 0$.

График степенной функции $y = x^n$ при $x \ge 0$ называется ветвью параболы n-ой степени. Он располагается в первой координатной четверти и проходит через точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Следовательно, график функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$ является кривой, симметричной ветви параболы $y=x^n$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Эта кривая также является ветвью параболы n-ой степени, но "лежащей на боку" и вытянутой вдоль положительного направления оси Ох. Например, при $n=2$ мы получаем верхнюю ветвь обычной параболы $x=y^2$.

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$ является ветвь параболы n-ой степени.

Постройте график функции (3.83–3.84): Рис. 33

3.83

а) $x = 2y;$

б) $y = -5y;$

в) $x = y^2, y \ge 0;$

г) $x = y^3, y \ge 0;$

д) $x = 2y - 4;$

е) $x = y + 5;$

ж) $x = 2y^2, y \ge 0;$

з) $x = 5y^3, y \ge 0.$

а)

Дана функция $x = 2y$. Это линейная зависимость. Чтобы построить график, удобнее выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.

2. Если $x=2$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Соединив эти две точки, получим график функции.

Ответ: График функции — прямая линия, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

б)

В условии, вероятно, допущена опечатка. Предположим, что имелась в виду функция $x = -5y$. Это линейная зависимость. Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{1}{5}x$

Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{5}$. Для построения найдем две точки.

1. Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{5} \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $x=5$, то $y = -\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$. Точка $(5, -1)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Если уравнение $x=-5y$, то график — прямая линия, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(5, -1)$.

в)

Дана функция $x = y^2$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = y^2$ задает параболу, симметричную относительно оси Ox (горизонтальная парабола), с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть графика, которая находится выше оси Ox (включая саму ось). Это верхняя ветвь параболы.

Можно выразить $y$ через $x$: $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня.

Найдем несколько точек для построения:

1. Если $y=0$, то $x=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Ответ: График — верхняя ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Это график функции $y = \sqrt{x}$.

г)

Дана функция $x = y^3$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = y^3$ задает кубическую параболу, симметричную относительно начала координат. График этой функции можно получить, отразив график $y=x^3$ относительно прямой $y=x$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем часть графика в первой координатной четверти. Если $y \ge 0$, то и $x = y^3 \ge 0$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt[3]{x}$.

Найдем несколько точек:

1. Если $y=0$, то $x=0^3=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=1^3=1$. Точка $(1, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2^3=8$. Точка $(8, 2)$.

Ответ: График — ветвь кубической параболы $x=y^3$ в первой координатной четверти, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$ и $(8, 2)$. Это график функции $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$.

д)

Дана функция $x = 2y - 4$. Это линейная функция. Выразим $y$ через $x$:

$2y = x + 4 \implies y = \frac{1}{2}x + 2$

Это уравнение прямой. Для построения найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

2. Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies 0 = \frac{1}{2}x + 2 \implies \frac{1}{2}x = -2 \implies x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через точки $(-4, 0)$ и $(0, 2)$.

е)

Дана функция $x = y + 5$. Это линейная функция. Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Это уравнение прямой. Найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.

2. Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies 0 = x - 5 \implies x = 5$. Точка $(5, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

ж)

Дана функция $x = 2y^2$ с условием $y \ge 0$. Уравнение $x = 2y^2$ задает горизонтальную параболу с вершиной в $(0, 0)$, ветви которой направлены вправо. Коэффициент 2 "растягивает" параболу $x=y^2$ вдоль оси Ox в 2 раза.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы берем только верхнюю ветвь этой параболы.

Выразим $y$ через $x$: $y^2 = \frac{x}{2} \implies y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ (берем положительный корень).

Найдем несколько точек:

1. Если $y=0$, то $x=2(0)^2=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=2(1)^2=2$. Точка $(2, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=2(2)^2=8$. Точка $(8, 2)$.

Ответ: График — верхняя ветвь параболы $x=2y^2$, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(2, 1)$ и $(8, 2)$.

з)

Дана функция $x = 5y^3$ с условием $y \ge 0$. Это кубическая парабола, растянутая вдоль оси Ox в 5 раз по сравнению с $x=y^3$.

Условие $y \ge 0$ оставляет только часть графика в первой координатной четверти.

Выразим $y$ через $x$: $y^3 = \frac{x}{5} \implies y = \sqrt[3]{\frac{x}{5}}$.

Найдем несколько точек для построения:

1. Если $y=0$, то $x=5(0)^3=0$. Точка $(0, 0)$.

2. Если $y=1$, то $x=5(1)^3=5$. Точка $(5, 1)$.

3. Если $y=2$, то $x=5(2)^3=40$. Точка $(40, 2)$.

Ответ: График — ветвь кубической параболы $x=5y^3$ в первой координатной четверти, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(5, 1)$ и $(40, 2)$.

3.84 а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$, $x \ge 0$;

В) $y = \sqrt[4]{x}$;

Г) $y = \sqrt[5]{x}$, $x \ge 0$.

а) Дана функция $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $D(y) = [0, +\infty)$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$, поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Для нахождения обратной функции поменяем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt{y}$. Чтобы выразить $y$, возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x \ge 0$: $y = x^2$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^2, x \ge 0$.

б) Дана функция $y = \sqrt[3]{x}$ с ограничением $x \ge 0$. Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$. При $x \ge 0$, значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ также неотрицательны, следовательно, область значений $E(y) = [0, +\infty)$. Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы найти обратную функцию: $x = \sqrt[3]{y}$. Возведем обе части уравнения в куб: $y = x^3$. Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^3, x \ge 0$.

в) Дана функция $y = \sqrt[4]{x}$. Область определения (подкоренное выражение для корня четной степени) $D(y) = [0, +\infty)$. Область значений (арифметический корень четной степени) $E(y) = [0, +\infty)$. Меняем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt[4]{y}$. Возводим обе части уравнения в четвертую степень, учитывая, что $x \ge 0$: $y = x^4$. Область определения для обратной функции — это область значений исходной: $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^4, x \ge 0$.

г) Дана функция $y = \sqrt[5]{x}$ с ограничением $x \ge 0$. Область определения задана: $D(y) = [0, +\infty)$. Для неотрицательных $x$ значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также неотрицательны, поэтому область значений $E(y) = [0, +\infty)$. Чтобы найти обратную функцию, меняем $x$ и $y$ местами: $x = \sqrt[5]{y}$. Возводим обе части уравнения в пятую степень: $y = x^5$. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = x^5, x \ge 0$.

3.85 Известно, что:

а) $ \sqrt[3]{a} > 1 $;

б) $ \sqrt[3]{a} < 1 $.

Верно ли, что $ a > 1 $; $ a > 0 $?

а)

Дано неравенство $\sqrt[3]{a} > 1$. Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что при возведении обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень знак неравенства сохраняется. Возведем обе части данного неравенства в третью степень: $(\sqrt[3]{a})^3 > 1^3$ $a > 1$ Следовательно, утверждение, что $a > 1$, является верным.

Теперь рассмотрим утверждение $a > 0$. Поскольку мы доказали, что $a > 1$, а любое число, которое больше 1, очевидно, больше 0, то неравенство $a > 0$ также выполняется. Следовательно, утверждение, что $a > 0$, является верным.

Ответ: Оба утверждения ($a > 1$ и $a > 0$) верны.

б)

Дано неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$. Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части неравенства в третью степень, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt[3]{a})^3 < 1^3$ $a < 1$

Рассмотрим утверждение $a > 1$. Мы получили, что $a < 1$. Это прямо противоречит утверждению $a > 1$. Следовательно, утверждение, что $a > 1$, является неверным.

Теперь рассмотрим утверждение $a > 0$. Из условия $a < 1$ не следует, что $a$ обязательно положительно. Кубический корень извлекается из любого действительного числа, в том числе и из отрицательного. Приведем контрпример. Пусть $a = -8$. Тогда $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$ выполняется, так как $-2 < 1$. Однако для $a = -8$ утверждение $a > 0$ неверно, потому что $-8 < 0$. Так как мы нашли значение $a$, при котором исходное условие выполняется, а проверяемое утверждение — нет, то в общем случае утверждение, что $a > 0$, является неверным.

Ответ: Оба утверждения ($a > 1$ и $a > 0$) неверны.

3.86 Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С его помощью найдите,

при каких $x$ справедливо неравенство:

a) $x^4 > 1$;

б) $x^4 < 1$.

Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика: при $x = 0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$ (точка (0; 0)); при $x = 1$, $y = \sqrt[4]{1} = 1$ (точка (1; 1)); при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$ (точка (16; 2)).

График функции представляет собой ветвь параболы, которая является симметричной графику функции $y = x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает, проходя через (1; 1) и (16; 2). Он расположен в первой координатной четверти.

Из построенного графика видно, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $a > b \ge 0$ справедливо $\sqrt[4]{a} > \sqrt[4]{b}$. Это свойство мы и используем для решения неравенств.

а) $x^4 > 1$

Преобразуем данное неравенство. Так как обе его части ($x^4$ и 1) неотрицательны, мы можем извлечь из них корень четвертой степени. Поскольку функция корня четвертой степени является возрастающей (что мы установили с помощью графика), знак неравенства при этом не изменится.

$\sqrt[4]{x^4} > \sqrt[4]{1}$

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем:

$|x| > 1$

Неравенство с модулем $|x| > 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 1$ или $x < -1$.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б) $x^4 < 1$

Будем решать это неравенство аналогично предыдущему. Заметим, что $x^4$ не может быть отрицательным, поэтому $0 \le x^4 < 1$. Извлечем корень четвертой степени из обеих частей неравенства. Так как функция $y = \sqrt[4]{t}$ возрастающая, знак неравенства сохранится.

$\sqrt[4]{x^4} < \sqrt[4]{1}$

Применяя свойство $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, получаем:

$|x| < 1$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 < x < 1$

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.