Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (3.54—3.59):

3.54

а) $\sqrt[3]{(-8)^2}$;

б) $\sqrt[4]{10 000}$;

в) $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$;

г) $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{(-8)^2}$, сначала возведем в квадрат число под корнем:
$(-8)^2 = 64$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt[3]{64}$.
Кубический корень из 64 — это число, которое при возведении в третью степень дает 64. Таким числом является 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.
Другой способ — использовать свойство корня $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ для $a<0$ и нечетного $n$.
$\sqrt[3]{(-8)^2} = (\sqrt[3]{-8})^2$.
Кубический корень из -8 равен -2, так как $(-2)^3 = -8$.
Тогда $(\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления $\sqrt[4]{10000}$ нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 10000.
Представим 10000 в виде степени: $10000 = 100 \cdot 100 = 10^2 \cdot 10^2 = 10^4$.
Тогда выражение можно записать как $\sqrt[4]{10^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[4]{10^4} = 10$.
Ответ: 10

в) Чтобы вычислить $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$, сначала выполним умножение под корнем:
$2 \cdot 16 = 32$.
Выражение принимает вид $\sqrt[5]{32}$.
Нужно найти число, которое при возведении в пятую степень равно 32.
Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Таким образом, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Можно также представить множители под корнем в виде степеней двойки:
$\sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{2^1 \cdot 2^4} = \sqrt[5]{2^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: 2

г) Для вычисления $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$ представим числа под корнем в виде степеней числа 3, так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.
$9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 3^4$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[6]{3^6}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[6]{3^6} = 3$.
В качестве альтернативы можно было сначала перемножить числа: $9 \cdot 81 = 729$. Тогда нужно было бы найти $\sqrt[6]{729}$. Так как $3^6 = 729$, результат тот же.
Ответ: 3

3.55 а) $\sqrt[3]{1000} - \sqrt[4]{160000}$;

б) $\sqrt[5]{3200000} + \sqrt[3]{8000}$;

в) $\sqrt[3]{0,008} + \sqrt[4]{0,0625}$;

г) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} - \sqrt[3]{\frac{1}{125}}$.

а) Вычислим значение каждого корня. Первый корень: $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$. Для второго корня представим подкоренное выражение как произведение: $160000 = 16 \cdot 10000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$. Таким образом, $\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$. Теперь найдем разность: $10 - 20 = -10$.
Ответ: -10.

б) Вычислим значение каждого корня. Первый корень: $\sqrt[5]{3200000} = \sqrt[5]{32 \cdot 100000} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 10^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 10)^5} = 20$. Аналогично, второй корень: $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 10)^3} = 20$. Теперь найдем сумму: $20 + 20 = 40$.
Ответ: 40.

в) Вычислим значение каждого корня, представив десятичные дроби в виде степеней. Первый корень: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$. Второй корень: $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{(0,5)^4} = 0,5$. Теперь найдем сумму: $0,2 + 0,5 = 0,7$.
Ответ: 0,7.

г) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81} - \sqrt[3]{\frac{1}{125}}}$ сначала найдем значение внутреннего корня: $\sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$. Подставим это значение обратно в выражение под корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{\frac{1}{81} - \frac{1}{5}}$. Вычислим разность под знаком корня: $\frac{1}{81} - \frac{1}{5} = \frac{5}{405} - \frac{81}{405} = -\frac{76}{405}$. Получаем выражение $\sqrt[4]{-\frac{76}{405}}$. Корень четной степени (4) из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.
Ответ: Выражение не имеет действительных решений.

3.56 а) $ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}; $

б) $ \sqrt[3]{125 \cdot 27}; $

в) $ \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}; $

г) $ \sqrt[4]{81 \cdot 16}; $

д) $ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}; $

е) $ \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}; $

ж) $ \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}; $

з) $ \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}; $

и) $ \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}. $

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$ можно вычислить каждый корень отдельно, так как подкоренные выражения 8 и 27 являются полными кубами.
Находим корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Находим корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Теперь перемножаем полученные результаты: $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{125 \cdot 27}$ используем свойство корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Разделим корень из произведения на произведение корней: $\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$.
Находим корень кубический из 125: $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.
Находим корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Перемножаем полученные результаты: $5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}$.
Вычислим каждый корень отдельно.
Находим корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Находим корень четвертой степени из 625: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Перемножаем полученные результаты: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{81 \cdot 16}$ используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$.
Находим корень четвертой степени из 81: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Находим корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Перемножаем полученные результаты: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6

д) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.
Находим корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: 2

е) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$.
Находим корень пятой степени из 32, зная, что $2^5 = 32$: $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

ж) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125}$.
Так как $125 = 5^3$, то произведение под корнем равно $5 \cdot 5^3 = 5^4 = 625$.
Получаем: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

з) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \cdot 24}$.
Вычисляем произведение: $9 \cdot 24 = 216$.
Получаем: $\sqrt[3]{216}$.
Так как $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{216} = 6$.
Ответ: 6

и) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10 \cdot 100} = \sqrt[3]{1000}$.
Находим корень кубический из 1000, зная, что $10^3=1000$: $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Ответ: 10

3.57 а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500});$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125});$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9};$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}.$

а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500})$

Для решения данного выражения сначала раскроем скобки, умножив $\sqrt[3]{2}$ на каждый член в скобках. При умножении корней одинаковой степени используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500}) = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$

Применяем свойство произведения корней:

$\sqrt[3]{2 \cdot 4} + \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1000}$

Теперь вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{1000} = 10$

Складываем полученные результаты:

$2 + 10 = 12$

Ответ: $12$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125})$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Как и в предыдущем примере, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125}) = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}$

Применяем свойство произведения корней:

$\sqrt[4]{5 \cdot 2000} - \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{10000} - \sqrt[4]{625}$

Теперь вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

Выполняем вычитание:

$10 - 5 = 5$

Ответ: $5$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для объединения выражений под один корень.

$\sqrt[3]{0,81 \cdot 0,9} = \sqrt[3]{0,729}$

Чтобы найти значение корня, вспомним, что $9^3 = 729$. Следовательно, $(0,9)^3 = 0,729$.

$\sqrt[3]{0,729} = \sqrt[3]{(0,9)^3} = 0,9$

Ответ: $0,9$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}$

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{8 \cdot 1250} = \sqrt[4]{10000}$

Теперь необходимо извлечь корень четвертой степени. Мы знаем, что $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{10000} = 10$

Ответ: $10$

3.58 a) $ \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}; $

б) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}; $

в) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}; $

г) $ \sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}. $

а) $\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством умножения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Это свойство означает, что произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$

Теперь необходимо извлечь корень пятой степени из 32. Вспомним, что $2$ в пятой степени равно 32, то есть $2^5 = 32$. Следовательно:

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: 2

б) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$

Используем то же свойство произведения корней, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим его к выражению:

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64}$

Далее извлекаем корень третьей степени из 64. Так как $4$ в третьей степени дает 64 ($4^3 = 64$), получаем:

$\sqrt[3]{64} = 4$

Ответ: 4

в) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}$

Этот пример включает произведение трех корней одинаковой, третьей степени. Свойство произведения корней распространяется и на три множителя: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a \cdot b \cdot c}$.

Применим это правило:

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot (-2)}$

Вычислим произведение под знаком корня:

$4 \cdot 8 \cdot (-2) = 32 \cdot (-2) = -64$

Таким образом, мы получаем выражение $\sqrt[3]{-64}$. Поскольку степень корня нечетная (3), можно извлекать корень из отрицательного числа. Зная, что $(-4)^3 = -64$, находим результат:

$\sqrt[3]{-64} = -4$

Ответ: -4

г) $\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}$

В этом примере мы также имеем произведение корней одной и той же степени (пятой). Используем то же свойство, что и ранее: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a \cdot b \cdot c}$.

Перемножим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49} = \sqrt[5]{-7 \cdot 49 \cdot 49}$

Для удобства вычислений представим число 49 как степень семерки: $49 = 7^2$. Тогда выражение под корнем примет вид:

$-7 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = -(7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^2) = -7^{1+2+2} = -7^5$

Теперь нужно вычислить $\sqrt[5]{-7^5}$. Так как степень корня ($5$) нечетная, корень извлекается, и мы получаем:

$\sqrt[5]{-7^5} = -7$

Ответ: -7

3.59 а) $ (\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5; $

б) $ \sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8}. $

а) $(\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5$

Для решения данного выражения воспользуемся основным свойством корня n-ой степени, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Рассмотрим первое слагаемое $(\sqrt[3]{-2})^3$. Здесь показатель корня $n=3$ является нечетным числом, поэтому:

$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$.

Рассмотрим второе слагаемое $(\sqrt[5]{8})^5$. Здесь показатель корня $n=5$ также является нечетным числом, поэтому:

$(\sqrt[5]{8})^5 = 8$.

Теперь выполним сложение полученных результатов:

$-2 + 8 = 6$.

Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{-1 - \sqrt[3]{-8}}$

Для вычисления значения этого выражения будем действовать поэтапно, начиная с самого внутреннего корня.

1. Найдем значение выражения $\sqrt[3]{-8}$. Нам нужно найти число, куб которого равен -8. Таким числом является -2, поскольку $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.

2. Подставим найденное значение в исходное выражение:

$\sqrt[5]{-1 - \sqrt[3]{-8}} = \sqrt[5]{-1 - (-2)}$.

3. Упростим выражение под знаком корня пятой степени:

$-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, наше выражение принимает вид $\sqrt[5]{1}$.

4. Найдем значение $\sqrt[5]{1}$. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень равно 1. Таким числом является 1, так как $1^5 = 1$.

Следовательно, $\sqrt[5]{1} = 1$.

Ответ: 1

3.60 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{40}$;

б) $\sqrt[5]{-64}$;

в) $\sqrt[5]{-96}$;

г) $\sqrt[3]{54}$;

д) $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$;

е) $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$;

ж) $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$;

з) $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$;

и) $\sqrt[4]{32}$;

к) $\sqrt[4]{243}$;

л) $\sqrt[4]{1296}$;

м) $\sqrt[4]{50625}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня из 40, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число 40 можно представить как $8 \cdot 5$, где $8 = 2^3$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5}$

б) Для вынесения множителя из-под знака корня пятой степени из -64, воспользуемся тем, что корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен: $\sqrt[5]{-64} = -\sqrt[5]{64}$. Разложим 64 на множители, выделив множитель в пятой степени: $64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2$.
$-\sqrt[5]{64} = -\sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = -(\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = -2\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $-2\sqrt[5]{2}$

в) Выносим множитель из-под знака корня пятой степени из -96. Так как степень корня нечетная, можно вынести знак минус: $\sqrt[5]{-96} = -\sqrt[5]{96}$. Разложим 96 на множители, выделяя пятую степень: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
$-\sqrt[5]{96} = -\sqrt[5]{2^5 \cdot 3} = -(\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3}) = -2\sqrt[5]{3}$.
Ответ: $-2\sqrt[5]{3}$

г) Для вынесения множителя из-под знака кубического корня из 54, разложим 54 на множители: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

д) Используем свойство корня от дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Знаменатель 8 является кубом числа 2 ($8=2^3$).
$\sqrt[3]{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

е) Применим свойство корня от дроби и извлечем корень из числителя: $\sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$. Для приведения к стандартному виду (без иррациональности в знаменателе), домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$, чтобы в знаменателе получился полный куб.
$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

ж) Сначала упростим дробь под корнем: $\frac{250}{16} = \frac{125}{8}$.
$\sqrt[3]{-\frac{250}{16}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$.
Теперь извлечем кубический корень из числителя и знаменателя: $125=5^3$ и $8=2^3$.
$-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{\sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{2^3}} = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $-\frac{5}{2}$

з) Вынесем знак минус и используем свойство корня от дроби: $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}} = -\sqrt[3]{\frac{64}{7}} = -\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{7}}$. Извлечем корень из числителя: $64=4^3$.
$-\frac{\sqrt[3]{4^3}}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{4}{\sqrt[3]{7}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.
$-\frac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$.
Ответ: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$

и) Чтобы вынести множитель из-под знака корня четвертой степени из 32, разложим 32 на множители, выделив множитель, являющийся четвертой степенью: $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{2}$

к) Разложим подкоренное число 243 на множители, выделив множитель в четвертой степени: $243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{3}$

л) Для извлечения корня четвертой степени из 1296, найдем его разложение на множители. Можно заметить, что $1296$ это $36^2$, а $36$ это $6^2$. Таким образом, $1296 = (6^2)^2 = 6^4$.
$\sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.
Ответ: $6$

м) Разложим число 50625 на множители. Число оканчивается на 25, значит, оно делится на $25 = 5^2$. $50625 = 25 \cdot 2025$. В свою очередь, $2025 = 25 \cdot 81$. Таким образом, $50625 = 25 \cdot 25 \cdot 81 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 3^4 = 5^4 \cdot 3^4 = (5 \cdot 3)^4 = 15^4$.
$\sqrt[4]{50625} = \sqrt[4]{15^4} = 15$.
Ответ: $15$

3.61 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}};$

б) $\frac{1}{\sqrt[5]{2}};$

в) $\frac{3}{\sqrt[3]{-4}};$

г) $\frac{5}{\sqrt[5]{-9}}.$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. В знаменателе стоит $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2^{3-1}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} $, домножим числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало числом в пятой степени. В знаменателе стоит $ \sqrt[5]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^5 $, нужно домножить на $ \sqrt[5]{2^{5-1}} = \sqrt[5]{2^4} = \sqrt[5]{16} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2 \cdot 16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.

в) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Ближайший к -4 полный куб - это -8, так как $ (-2)^3 = -8 $. Найдем множитель $x$, такой что $ -4 \cdot x = -8 $. Отсюда $ x = 2 $. Значит, домножать нужно на $ \sqrt[3]{2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-4 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-8}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{-2} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.

г) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полной пятой степенью. Заметим, что $ -9 = -3^2 $. Чтобы получить под корнем полную пятую степень, например $ (-3)^5 = -243 $, нужно домножить $ -9 $ на $ x $. Найдем $x$: $ -9 \cdot x = -243 $, откуда $ x = \frac{-243}{-9} = 27 $. Значит, домножать нужно на $ \sqrt[5]{27} $.
Выполним умножение:
$ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} = \frac{5 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-9} \cdot \sqrt[5]{27}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-9 \cdot 27}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{-243}} = \frac{5\sqrt[5]{27}}{-3} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.

3.62 Вычислите:

а) $\sqrt{(-2)^2}$;

б) $\sqrt{(-5)^4}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2}$;

д) $\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}$;

е) $\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{(-2)^2}$, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = -2$. Таким образом, $\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$. Альтернативно, можно сначала выполнить возведение в степень под корнем: $(-2)^2 = 4$, а затем извлечь корень: $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

б) Чтобы вычислить $\sqrt{(-5)^4}$, можно сначала вычислить значение подкоренного выражения: $(-5)^4 = 625$. Тогда $\sqrt{625} = 25$. Другой способ — использовать свойства степеней и корней: $\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{((-5)^2)^2} = |(-5)^2| = |25| = 25$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, модуль можно опустить.
Ответ: 25

в) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-1$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{2}-1$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} > 1$, и разность $\sqrt{2}-1$ положительна. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$

г) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2} = |\sqrt{2}-2|$. Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $\sqrt{2}-2$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} < 2$, и разность $\sqrt{2}-2$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2-\sqrt{2}$.
Ответ: $2-\sqrt{2}$

д) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-\sqrt{3}$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{2}-\sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

е) Для вычисления выражения $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}$ применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{5}-\sqrt{7}$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{7}|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$. Так как $5 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-\sqrt{7}$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{5}-\sqrt{7}| = -(\sqrt{5}-\sqrt{7}) = \sqrt{7}-\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{5}$

3.63 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{32}$;

б) $\sqrt[5]{800}$;

в) $30 \sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2} \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt[3]{144}$;

г) $\sqrt[4]{80}$;

д) $\sqrt[4]{405}$;

е) $\sqrt[3]{320} + \sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{32} - 2 \sqrt[3]{40}$;

ж) $\sqrt[4]{81 \cdot (4 - \sqrt{17})^4}$;

з) $\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{32}$, разложим подкоренное число 32 на множители так, чтобы выделить куб какого-либо числа.
$32 = 8 \cdot 4 = 2^3 \cdot 4$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{4}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{4}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[5]{800}$. Разложим 800 на множители, выделяя множитель в пятой степени.
$800 = 100 \cdot 8 = 25 \cdot 4 \cdot 8 = 25 \cdot 32 = 25 \cdot 2^5$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[5]{800} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 25} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{25} = 2\sqrt[5]{25}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{25}$.

в)

Упростим выражение $30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144}$.
Преобразуем каждый член выражения, чтобы привести их к общему виду.
1. Первый член: $30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 18}{12 \cdot 18}} = 30\sqrt[3]{\frac{18}{216}} = 30 \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{216}} = 30 \frac{\sqrt[3]{18}}{6} = 5\sqrt[3]{18}$.
2. Второй член: $\frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2} \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{7}{2} \frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7\sqrt[3]{18}}{6}$.
3. Третий член: $5\sqrt[3]{144}$. Разложим 144 на множители: $144 = 8 \cdot 18 = 2^3 \cdot 18$.
$5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18}$.
Теперь сложим все упрощенные члены:
$5\sqrt[3]{18} + \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} + 10\sqrt[3]{18} = (5 + \frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (15 + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = (\frac{90}{6} + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{97}{6}\sqrt[3]{18}$.
Ответ: $\frac{97}{6}\sqrt[3]{18}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{80}$, разложим 80 на множители, выделяя множитель в четвертой степени.
$80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

д)

Упростим $\sqrt[4]{405}$. Разложим 405 на множители:
$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{5}$.

е)

Упростим выражение $\sqrt[3]{320} + \sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{32} - 2\sqrt[3]{40}$.
Упростим каждый член, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$.
$\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}$.
$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = 2\sqrt[3]{4}$.
$2\sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.
Подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$4\sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{5}$.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми корнями:
$(4\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5}) + (3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4}) = 0 + (3-2)\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

ж)

Упростим выражение $\sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4}$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4}$.
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Для второго множителя используем свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:
$\sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} = |4-\sqrt{17}|$.
Определим знак выражения в модуле. Сравним $4$ и $\sqrt{17}$.
$4^2=16$, $(\sqrt{17})^2=17$. Так как $16 < 17$, то $4 < \sqrt{17}$.
Следовательно, $4 - \sqrt{17} < 0$.
$|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4$.
Перемножим результаты:
$3 \cdot (\sqrt{17}-4) = 3\sqrt{17} - 12$.
Ответ: $3\sqrt{17} - 12$.

з)

Упростим выражение $\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064}$.
Упростим каждый член по отдельности.
Первый член: $\sqrt[3]{0,001} = \sqrt[3]{(0,1)^3} = 0,1$.
Второй член: $\sqrt[6]{0,000064}$. Заметим, что $64 = 2^6$ и $0,000064 = 64 \cdot 10^{-6} = 2^6 \cdot (10^{-1})^6 = (0,2)^6$.
$\sqrt[6]{0,000064} = \sqrt[6]{(0,2)^6} = 0,2$.
Теперь выполним вычитание:
$0,1 - 0,2 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$.

3.64 Для каких чисел $k$ справедливо равенство:

а) $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$;

б) $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k?$

а) Для решения равенства $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$ воспользуемся определением арифметического квадратного корня из квадрата выражения: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применяя это свойство к левой части уравнения, получаем:

$\sqrt{(k-1)^2} = |k-1|$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:

$|k-1| = 1-k$.

Заметим, что правая часть $1-k$ является противоположным выражением для $k-1$, то есть $1-k = -(k-1)$.

Получаем равенство вида $|A| = -A$, где $A = k-1$. По определению модуля, такое равенство справедливо только в том случае, если выражение под знаком модуля является неположительным, то есть $A \le 0$.

В нашем случае это означает, что должно выполняться неравенство:

$k-1 \le 0$.

Решая это простое неравенство, находим:

$k \le 1$.

Это и есть условие, при котором исходное равенство справедливо.

Ответ: $k \le 1$, или в виде интервала $k \in (-\infty, 1]$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k$.

Аналогично пункту а), применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к левой части:

$\sqrt{(1+k)^2} = |1+k|$.

Исходное равенство принимает вид:

$|1+k| = -1-k$.

Вынесем в правой части знак минус за скобки:

$|1+k| = -(1+k)$.

Мы снова получили равенство вида $|A| = -A$, где на этот раз $A = 1+k$. Как и в предыдущем пункте, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $A \le 0$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$1+k \le 0$.

Решаем его относительно $k$:

$k \le -1$.

Это условие, при котором исходное равенство будет верным.

Ответ: $k \le -1$, или в виде интервала $k \in (-\infty, -1]$.

3.65 Упростите выражение $\sqrt[4]{(x+1)^4}$, если:

а) $x$ — любое действительное число;

б) $x \ge -1$;

в) $x < -1$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(x+1)^4}$ используется свойство корня четной степени: для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ справедливо равенство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 4 (четное число), поэтому:

$\sqrt[4]{(x+1)^4} = |x+1|$

Поскольку $x$ — любое действительное число, знак выражения $x+1$ может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю. Поэтому выражение $|x+1|$ является конечным упрощением в общем случае.

Ответ: $|x+1|$

б) В этом случае дано дополнительное условие $x \ge -1$. Проанализируем знак выражения $x+1$ при этом условии.

Если $x \ge -1$, то, прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x+1 \ge 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является неотрицательным. По определению модуля, если $A \ge 0$, то $|A| = A$.

Следовательно, при $x \ge -1$ мы имеем $|x+1| = x+1$.

Ответ: $x+1$

в) Здесь дано условие $x < -1$. Проанализируем знак выражения $x+1$ при этом условии.

Если $x < -1$, то, прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x+1 < 0$.

Это означает, что выражение под знаком модуля является отрицательным. По определению модуля, если $A < 0$, то $|A| = -A$.

Следовательно, при $x < -1$ мы имеем $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Ответ: $-(x+1)$