Страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.41 Прочтите выражение:

а) $\sqrt[3]{5}$;

б) $-\sqrt[7]{-2}$;

в) $\sqrt[12]{7}$;

г) $-\sqrt[5]{-7}$.

а) Выражение $\sqrt[3]{5}$ представляет собой корень, у которого показатель степени равен 3 (что также называется кубическим корнем), а подкоренное выражение равно 5. Читается это как «корень третьей степени из пяти» или «кубический корень из пяти».
Ответ: корень третьей степени из пяти (или кубический корень из пяти).

б) Выражение $-\sqrt[7]{-2}$ состоит из знака минус перед корнем. Показатель корня равен 7, а подкоренное выражение равно -2. Читается последовательно: сначала знак, потом корень. «Минус корень седьмой степени из минус двух».
Ответ: минус корень седьмой степени из минус двух.

в) Выражение $\sqrt[12]{7}$ представляет собой корень с показателем 12 из числа 7. Читается как «корень двенадцатой степени из семи».
Ответ: корень двенадцатой степени из семи.

г) Выражение $-\sqrt[5]{-7}$ — это корень пятой степени из числа -7, взятый со знаком минус. Читается как «минус корень пятой степени из минус семи».
Ответ: минус корень пятой степени из минус семи.

3.42 Имеет ли смысл запись:

а) $\sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[3]{-5}$;

в) $\sqrt[4]{5}$;

г) $\sqrt[4]{-5}$;

д) $\sqrt[8]{0}$;

е) $\sqrt[8]{-0,1}$?

Для того чтобы определить, имеет ли смысл запись $\sqrt[n]{a}$ в области действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

Правило гласит: если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число, то корень существует для любого действительного числа $a$. Если же показатель корня $n$ — четное натуральное число, то корень существует только для неотрицательных действительных чисел, то есть при $a \ge 0$.

а) В выражении $\sqrt[3]{5}$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Согласно правилу, корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, запись имеет смысл.

Ответ: да.

б) В выражении $\sqrt[3]{-5}$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения, в том числе и для отрицательных. Следовательно, запись имеет смысл.

Ответ: да.

в) В выражении $\sqrt[4]{5}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Подкоренное выражение $a=5$ является положительным ($5 > 0$), поэтому запись имеет смысл.

Ответ: да.

г) В выражении $\sqrt[4]{-5}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=-5$ является отрицательным ($-5 < 0$), следовательно, в области действительных чисел данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет.

д) В выражении $\sqrt[8]{0}$ показатель корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=0$ является неотрицательным ($0 \ge 0$), поэтому запись имеет смысл.

Ответ: да.

е) В выражении $\sqrt[8]{-0,1}$ показатель корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=-0,1$ является отрицательным ($-0,1 < 0$), следовательно, в области действительных чисел данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет.

3.43 Верно ли равенство:

а) $ \sqrt[3]{-27} = -3; $

б) $ -\sqrt[4]{16} = -2; $

в) $ \sqrt[3]{64} = -4; $

г) $ \sqrt[4]{625} = -5? $

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt[3]{-27} = -3$, необходимо возвести число в правой части $(-3)$ в степень корня (3) и сравнить результат с подкоренным выражением $(-27)$. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$.

Выполним проверку: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Поскольку результат $(-27)$ совпадает с подкоренным выражением, равенство верно.

Ответ: верно.

б) Чтобы проверить верность равенства $-\sqrt[4]{16} = -2$, сначала вычислим значение арифметического корня $\sqrt[4]{16}$. Арифметический корень четной степени из числа — это всегда неотрицательное число. Нам нужно найти такое неотрицательное число $b$, что $b^4 = 16$.

Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $-\sqrt[4]{16} = -(2) = -2$.

Равенство $-2 = -2$ является верным.

Ответ: верно.

в) Проверим верность равенства $\sqrt[3]{64} = -4$. Возведем правую часть $(-4)$ в третью степень.

Выполним проверку: $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$.

Результат $(-64)$ не равен подкоренному выражению $(64)$. Правильное значение кубического корня из 64 равно 4, так как $4^3 = 64$. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: неверно.

г) Проверим верность равенства $\sqrt[4]{625} = -5$. По определению, значение арифметического корня четной степени (в данном случае, 4-й) не может быть отрицательным числом. В правой части равенства стоит отрицательное число $-5$.

Это уже достаточное основание, чтобы утверждать, что равенство неверно. Правильное значение корня: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5 \ge 0$ и $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Ответ: неверно.

3.44 Покажите с помощью графика функции $y = x^4$, что:

a) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа $-1$.

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Действительные корни четвертой степени из числа $a$ — это действительные решения уравнения $x^4 = a$. Их количество равно количеству точек пересечения графика функции $y = x^4$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = x^4$ — это парабола четвертой степени, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), проходящая через начало координат. Все значения функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа 3, необходимо решить уравнение $x^4 = 3$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 3$. Прямая $y = 3$ является горизонтальной и проходит выше оси абсцисс. Так как ветви графика $y = x^4$ уходят в бесконечность в I и II координатных четвертях, эта прямая пересечет график в двух точках. Абсциссы этих точек будут симметричны относительно нуля: $x_1 = \sqrt[4]{3}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{3}$. Таким образом, существует два действительных корня.
Ответ: Прямая $y=3$ пересекает график функции $y=x^4$ в двух точках, следовательно, существуют два действительных корня четвертой степени из числа 3.

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа 0, необходимо решить уравнение $x^4 = 0$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 0$ (оси абсцисс). График функции $y = x^4$ имеет с осью абсцисс только одну общую точку — это начало координат $(0, 0)$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение $x = 0$.
Ответ: Прямая $y=0$ имеет с графиком функции $y=x^4$ одну точку касания, следовательно, существует единственный действительный корень четвертой степени из числа 0.

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа –1.
Чтобы найти действительные корни четвертой степени из числа –1, необходимо решить уравнение $x^4 = -1$. Графически это означает найти точки пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = -1$. Для любого действительного числа $x$ его четвертая степень $x^4$ является неотрицательной ($x^4 \ge 0$). Это означает, что весь график функции $y = x^4$ лежит на оси абсцисс и выше неё. Прямая $y = -1$ проходит ниже оси абсцисс, поэтому она не имеет общих точек с графиком функции $y = x^4$. Следовательно, действительных корней у уравнения $x^4 = -1$ нет.
Ответ: Прямая $y=-1$ не пересекает график функции $y=x^4$, следовательно, не существует действительных корней четвертой степени из числа –1.

3.45 Верно ли равенство:

а) $\sqrt[4]{16} = -2;$

б) $\sqrt[6]{1} = 1;$

в) $\sqrt[4]{-16} = -2;$

г) $\sqrt[4]{16} = 2?$

а)

Равенство $\sqrt[4]{16} = -2$ неверно.
По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$.
В данном случае степень корня $n=4$ — четное число. Значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным числом. Правая часть равенства равна -2, что является отрицательным числом.
Несмотря на то, что $(-2)^4 = 16$, по определению арифметического корня $\sqrt[4]{16}$ — это неотрицательное число 2, так как $2 \ge 0$ и $2^4 = 16$.
Ответ: неверно.

б)

Равенство $\sqrt[6]{1} = 1$ верно.
Степень корня $n=6$ — четное число. Мы ищем неотрицательное число, которое при возведении в 6-ю степень даст 1.
Проверим правую часть равенства: $1^6 = 1$. Число 1 является неотрицательным, и его 6-я степень равна 1, что соответствует определению арифметического корня.
Ответ: верно.

в)

Равенство $\sqrt[4]{-16} = -2$ неверно.
Степень корня $n=4$ — четное число. В области действительных чисел корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение равно -16, что является отрицательным числом.
Следовательно, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не определено в множестве действительных чисел.
Ответ: неверно.

г)

Равенство $\sqrt[4]{16} = 2$ верно.
Степень корня $n=4$ — четное число. Мы ищем неотрицательное число, которое при возведении в 4-ю степень даст 16.
Проверим правую часть равенства: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Число 2 является неотрицательным, и его 4-я степень равна 16, что соответствует определению арифметического корня.
Ответ: верно.

3.46 Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[8]{35-6^2}$;

б) $\sqrt[6]{27-5^2}$;

в) $\sqrt{(-2)^3}$;

г) $\sqrt[4]{(-8)^6}$?

а) Чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt[8]{35 - 6^2}$, нужно проверить знак подкоренного выражения. Индекс корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Вычислим значение подкоренного выражения: $35 - 6^2 = 35 - 36 = -1$.

Так как подкоренное выражение равно $-1$, то есть является отрицательным числом, а степень корня четная, то данное выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{27 - 5^2}$. Индекс корня $n=6$ является четным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.

Поскольку подкоренное выражение равно $2$, то есть является положительным числом, корень четной степени из него извлечь можно. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^3}$. Если у корня не указан индекс, то по умолчанию это квадратный корень, индекс которого $n=2$ (четное число). Для корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-2)^3 = -8$.

Так как подкоренное выражение равно $-8$, то есть является отрицательным числом, а степень корня четная, то данное выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-8)^6}$. Индекс корня $n=4$ является четным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-8)^6$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. $(-8)^6 = 8^6 = 262144$.

Поскольку подкоренное выражение равно $262144$, то есть является положительным числом, корень четной степени из него извлечь можно. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3.47* Покажите с помощью графика функции $y = x^4$, что существуют следующие корни, и укажите их значение с точностью до единиц:

а) $\sqrt[4]{3};$

б) $-\sqrt[4]{3};$

в) $\sqrt[4]{2};$

г) $-\sqrt[4]{2};$

д) $\sqrt[4]{0};$

е) $\sqrt[4]{0.5};$

ж) $-\sqrt[4]{0.5}.$

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^4$ показать существование корней и определить их приближенное значение, необходимо понимать, что нахождение корня четвертой степени из числа $a$, то есть $x = \sqrt[4]{a}$, равносильно решению уравнения $x^4 = a$. Графически это соответствует нахождению абсциссы (координаты $x$) точки пересечения графика функции $y = x^4$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = x^4$ симметричен относительно оси ординат (оси $y$), так как функция является четной ($(-x)^4 = x^4$). Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), поэтому график целиком лежит в верхней полуплоскости. Из этого следует, что корень четвертой степени в действительных числах существует только для неотрицательных чисел ($a \ge 0$). Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках с противоположными абсциссами: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$. Если $a=0$, то прямая $y=0$ касается графика в одной точке $x=0$.

а) $\sqrt[4]{3}$
Этот корень является положительным решением уравнения $x^4 = 3$. Чтобы его найти, рассмотрим пересечение графика $y=x^4$ и прямой $y=3$. Поскольку $3 > 0$, корень существует. Для определения его значения с точностью до единиц, найдем, между какими целыми числами он расположен. Проверим значения $y$ для целых $x$: При $x=1$, $y = 1^4 = 1$. При $x=2$, $y = 2^4 = 16$. Так как $1 < 3 < 16$, то абсцисса точки пересечения находится между 1 и 2, то есть $1 < \sqrt[4]{3} < 2$. Чтобы округлить до ближайшего целого, сравним $\sqrt[4]{3}$ со значением 1,5. Для этого возведем 1,5 в четвертую степень: $1,5^4 = 5,0625$. Поскольку $3 < 5,0625$, то $\sqrt[4]{3} < 1,5$. Значит, корень ближе к 1, чем к 2.
Ответ: 1

б) $-\sqrt[4]{3}$
Этот корень является отрицательным решением уравнения $x^4 = 3$. В силу симметрии графика $y=x^4$ относительно оси $y$, прямая $y=3$ пересекает график и при отрицательном значении $x$. Из пункта а) мы знаем, что $1 < \sqrt[4]{3} < 2$, следовательно, $-2 < -\sqrt[4]{3} < -1$. Также из пункта а) известно, что $\sqrt[4]{3} < 1,5$, откуда следует, что $-\sqrt[4]{3} > -1,5$. Значение корня находится в интервале $(-1,5; -1)$, поэтому оно ближе к -1.
Ответ: -1

в) $\sqrt[4]{2}$
Это положительное решение уравнения $x^4 = 2$. Рассматриваем пересечение $y=x^4$ и $y=2$. Корень существует, так как $2>0$. При $x=1$, $y = 1^4 = 1$. При $x=2$, $y = 2^4 = 16$. Так как $1 < 2 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Сравним с 1,5: $1,5^4 = 5,0625$. Поскольку $2 < 5,0625$, то $\sqrt[4]{2} < 1,5$. Значит, корень ближе к 1.
Ответ: 1

г) $-\sqrt[4]{2}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4 = 2$. Из симметрии графика корень существует. Из пункта в) $1 < \sqrt[4]{2} < 2$, значит $-2 < -\sqrt[4]{2} < -1$. Так как $\sqrt[4]{2} < 1,5$, то $-\sqrt[4]{2} > -1,5$. Корень находится в интервале $(-1,5; -1)$ и ближе к -1.
Ответ: -1

д) $\sqrt[4]{0}$
Это решение уравнения $x^4 = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график $y=x^4$ в одной точке, где $x=0$. Корень существует и его точное значение равно 0.
Ответ: 0

е) $\sqrt[4]{0,5}$
Это положительное решение уравнения $x^4 = 0,5$. Рассматриваем пересечение $y=x^4$ и $y=0,5$. Корень существует, так как $0,5 > 0$. При $x=0$, $y=0$. При $x=1$, $y=1$. Так как $0 < 0,5 < 1$, то $0 < \sqrt[4]{0,5} < 1$. Чтобы округлить до ближайшего целого, сравним с 0,5. Возведем 0,5 в четвертую степень: $0,5^4 = 0,0625$. Поскольку $0,5 > 0,0625$, то $\sqrt[4]{0,5} > \sqrt[4]{0,0625} = 0,5$. Значение корня находится в интервале $(0,5; 1)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

ж) $-\sqrt[4]{0,5}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4 = 0,5$. Корень существует из-за симметрии графика. Из пункта е) $0 < \sqrt[4]{0,5} < 1$, следовательно $-1 < -\sqrt[4]{0,5} < 0$. Так как $\sqrt[4]{0,5} > 0,5$, то $-\sqrt[4]{0,5} < -0,5$. Корень находится в интервале $(-1; -0,5)$ и ближе к -1.
Ответ: -1