Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.28° Найдите число, куб которого равен:

а) $-1$;

б) $-8$;

в) $0,001$;

г) $\frac{1}{27}$.

а) Чтобы найти число, куб которого равен -1, нужно найти такое число $x$, что $x^3 = -1$. Это означает, что нужно извлечь кубический корень из -1.

Так как $(-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$, то искомое число равно -1.

Проверка: $(-1)^3 = -1$.

Ответ: -1

б) Найдём число $x$, для которого выполняется равенство $x^3 = -8$. Для этого извлечем кубический корень из -8.

Мы знаем, что $2^3 = 8$. Поскольку число -8 отрицательное, его кубический корень также должен быть отрицательным. Проверим число -2:

$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8$.

Следовательно, искомое число равно -2.

Ответ: -2

в) Нам нужно найти число $x$, такое что $x^3 = 0,001$. Это равносильно нахождению кубического корня из 0,001.

Представим десятичную дробь 0,001 в виде обыкновенной дроби: $0,001 = \frac{1}{1000}$.

Тогда уравнение примет вид $x^3 = \frac{1}{1000}$.

Извлечем кубический корень: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{1}{10}$.

В виде десятичной дроби это 0,1.

Проверка: $(0,1)^3 = 0,1 \times 0,1 \times 0,1 = 0,001$.

Ответ: 0,1

г) Требуется найти число $x$, для которого $x^3 = \frac{1}{27}$. Для этого нужно найти кубический корень из дроби $\frac{1}{27}$.

Воспользуемся свойством корня из дроби: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}$.

Так как $1^3 = 1$ и $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$, то $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $x = \frac{1}{3}$.

Проверка: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3.29 Проверьте, что число:

а) 3 есть корень третьей степени из 27;

б) -0,5 есть корень четвёртой степени из 0,0625;

в) 7 — корень четвёртой степени из 2401;

г) $-1\frac{1}{3}$ — корень третьей степени из $-2\frac{10}{27}$.

а) Чтобы проверить, является ли число 3 корнем третьей степени из 27, необходимо возвести 3 в третью степень. По определению, корень n-ой степени из числа a – это такое число b, что $b^n = a$.
Выполним проверку: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$.
Поскольку $3^3 = 27$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число –0,5 корнем четвёртой степени из 0,0625, необходимо возвести –0,5 в четвёртую степень. Так как степень чётная, результат будет положительным.
Выполним проверку: $(-0,5)^4 = (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) = 0,25 \times 0,25 = 0,0625$.
Поскольку $(-0,5)^4 = 0,0625$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

в) Чтобы проверить, является ли число 7 корнем четвёртой степени из 2401, необходимо возвести 7 в четвёртую степень.
Выполним проверку: $7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 49 = 2401$.
Поскольку $7^4 = 2401$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

г) Чтобы проверить, является ли число $-1\frac{1}{3}$ корнем третьей степени из $-2\frac{10}{27}$, необходимо возвести $-1\frac{1}{3}$ в третью степень. Для удобства вычислений преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$
$-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54+10}{27} = -\frac{64}{27}$
Теперь возведем в степень: $(-\frac{4}{3})^3 = \frac{(-4)^3}{3^3} = \frac{-64}{27}$.
Полученный результат $-\frac{64}{27}$ равен второму числу. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

3.30 Проверьте, является ли число:

а) 6 корнем шестой степени из 46 656;

б) −3 корнем седьмой степени из 2187;

в) −3 корнем седьмой степени из −2187;

г) −0,4 корнем пятой степени из $ \frac{32}{3125} $.

а) 6 корнем шестой степени из 46 656

Чтобы проверить, является ли число $6$ корнем шестой степени из $46\,656$, необходимо возвести число $6$ в шестую степень и сравнить результат с числом $46\,656$.

Выполним вычисление: $6^6 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6$.

$6^2 = 36$

$6^3 = 36 \times 6 = 216$

$6^4 = 216 \times 6 = 1296$

$6^5 = 1296 \times 6 = 7776$

$6^6 = 7776 \times 6 = 46\,656$

Поскольку $6^6 = 46\,656$, число $6$ является корнем шестой степени из $46\,656$.

Ответ: да, является.

б) -3 корнем седьмой степени из 2187

Чтобы проверить, является ли число $-3$ корнем седьмой степени из $2187$, необходимо возвести $-3$ в седьмую степень.

Поскольку показатель степени ($7$) — нечетное число, результат возведения отрицательного числа в эту степень будет отрицательным.

$(-3)^7 = -(3^7) = -(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) = -2187$.

Сравним результат с заданным числом: $-2187 \neq 2187$.

Следовательно, число $-3$ не является корнем седьмой степени из $2187$.

Ответ: нет, не является.

в) -3 корнем седьмой степени из –2187

Чтобы проверить, является ли число $-3$ корнем седьмой степени из $-2187$, необходимо возвести $-3$ в седьмую степень.

Как было вычислено в предыдущем пункте, $(-3)^7 = -2187$.

Сравним результат с заданным числом: $(-3)^7 = -2187$.

Поскольку результаты совпадают, число $-3$ является корнем седьмой степени из $-2187$.

Ответ: да, является.

г) -0,4 корнем пятой степени из $\frac{32}{3125}$

Чтобы проверить, является ли число $-0,4$ корнем пятой степени из дроби $\frac{32}{3125}$, необходимо возвести $-0,4$ в пятую степень.

Сначала представим десятичную дробь $-0,4$ в виде обыкновенной:

$-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

Теперь возведем эту дробь в пятую степень. Поскольку показатель степени ($5$) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-0,4)^5 = \left(-\frac{2}{5}\right)^5 = -\frac{2^5}{5^5} = -\frac{32}{3125}$

Сравним полученный результат с числом из условия: $-\frac{32}{3125} \neq \frac{32}{3125}$.

Следовательно, число $-0,4$ не является корнем пятой степени из $\frac{32}{3125}$.

Ответ: нет, не является.

3.31 Найдите кубический корень из числа:

а) 1000;

б) 64 000 000;

в) 125 000 000 000;

г) -0,001;

д) $3\frac{3}{8}$;

е) $-1\frac{61}{64}$.

Докажите правильность решения.

а)

Чтобы найти кубический корень из 1000, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) дает 1000. Известно, что $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

$\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

Доказательство:

Для проверки возведем полученный ответ 10 в куб: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Так как результат совпадает с исходным числом, решение верно.

Ответ: 10

б)

Представим число 64 000 000 в виде произведения чисел, из которых легко извлечь кубический корень: $64 \cdot 1 000 000$.

$\sqrt[3]{64 000 000} = \sqrt[3]{64 \cdot 1 000 000} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{1 000 000} = 4 \cdot 100 = 400$

Поскольку $\sqrt[3]{64} = 4$ (так как $4^3=64$) и $\sqrt[3]{1 000 000} = 100$ (так как $100^3=1 000 000$).

Доказательство:

Возведем 400 в куб: $400^3 = (4 \cdot 100)^3 = 4^3 \cdot 100^3 = 64 \cdot 1 000 000 = 64 000 000$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: 400

в)

Представим число 125 000 000 000 в виде произведения: $125 \cdot 1 000 000 000$.

$\sqrt[3]{125 000 000 000} = \sqrt[3]{125 \cdot 1 000 000 000} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{1 000 000 000} = 5 \cdot 1000 = 5000$

Поскольку $\sqrt[3]{125} = 5$ (так как $5^3=125$) и $\sqrt[3]{1 000 000 000} = 1000$ (так как $1000^3=1 000 000 000$).

Доказательство:

Возведем 5000 в куб: $5000^3 = (5 \cdot 1000)^3 = 5^3 \cdot 1000^3 = 125 \cdot 1 000 000 000 = 125 000 000 000$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: 5000

г)

Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Число 0,001 можно представить как $0,1^3$.

$\sqrt[3]{-0,001} = -\sqrt[3]{0,001} = -\sqrt[3]{(0,1)^3} = -0,1$

Доказательство:

Возведем -0,1 в куб: $(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: -0,1

д)

Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$:

$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Доказательство:

Возведем результат $\frac{3}{2}$ в куб: $(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $\frac{3}{2}$

е)

Сначала преобразуем отрицательное смешанное число $-1\frac{61}{64}$ в неправильную дробь:

$-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = -\frac{64+61}{64} = -\frac{125}{64}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби:

$\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = -\frac{5}{4}$

Доказательство:

Возведем результат $-\frac{5}{4}$ в куб: $(-\frac{5}{4})^3 = \frac{(-5)^3}{4^3} = \frac{-125}{64}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $-\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64}$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $-\frac{5}{4}$

3.32 Найдите корень четвёртой степени из числа:

а) 0;

б) 160 000;

в) 62 500 000 000;

г) 0,0001;

д) $1 \cdot 10^{-12}$;

е) $1,6 \cdot 10^{-3}$.

Единственный ли это корень?

а) 0;

Корень четвёртой степени из числа 0 – это число, которое при возведении в четвёртую степень даёт 0. Таким числом является только 0.

$\sqrt[4]{0} = 0$

Ответ: 0.

б) 160 000;

Для нахождения корня представим число 160 000 как произведение чисел, из которых легко извлечь корень четвёртой степени:

$160000 = 16 \cdot 10000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$.

Следовательно, корень четвёртой степени из 160 000 равен 20.

$\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$.

Ответ: 20.

в) 62 500 000 000;

Представим число в стандартном виде и извлечём корень:

$62500000000 = 625 \cdot 10^8 = 5^4 \cdot (10^2)^4 = (5 \cdot 10^2)^4 = 500^4$.

Таким образом, корень четвёртой степени из 62 500 000 000 равен 500.

$\sqrt[4]{62500000000} = \sqrt[4]{500^4} = 500$.

Ответ: 500.

г) 0,0001;

Представим десятичную дробь в виде степени числа 10:

$0.0001 = \frac{1}{10000} = 10^{-4}$.

Тогда корень четвёртой степени из этого числа:

$\sqrt[4]{0.0001} = \sqrt[4]{10^{-4}} = 10^{-1} = 0.1$.

Ответ: 0.1.

д) $1 \cdot 10^{-12}$;

Используем свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

$\sqrt[4]{1 \cdot 10^{-12}} = \sqrt[4]{10^{-12}} = (10^{-12})^{\frac{1}{4}} = 10^{-12/4} = 10^{-3} = 0.001$.

Ответ: $10^{-3}$ (или 0.001).

е) $1.6 \cdot 10^{-3}$.

Чтобы извлечь корень, преобразуем подкоренное выражение так, чтобы показатель степени у числа 10 был кратен 4:

$1.6 \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-4}$.

Теперь извлечём корень:

$\sqrt[4]{1.6 \cdot 10^{-3}} = \sqrt[4]{16 \cdot 10^{-4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10^{-4}} = 2 \cdot 10^{-1} = 0.2$.

Ответ: 0.2.

Единственный ли это корень?

Ответ на этот вопрос зависит от того, что именно понимать под "корнем".

В математике различают понятия арифметического корня и алгебраического корня.

1. Арифметический корень. По определению, арифметическим корнем четвёртой степени из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt[4]{a}$) называют такое неотрицательное число, четвёртая степень которого равна $a$. В этом смысле, для каждого из заданных неотрицательных чисел существует только один арифметический корень. Все найденные выше ответы являются именно такими единственными арифметическими корнями.

2. Алгебраические корни. Если искать все действительные числа $x$, для которых выполняется равенство $x^4 = a$, то:

• Для любого положительного числа $a > 0$ (задания б, в, г, д, е) существует два действительных корня четвёртой степени: положительный ($\sqrt[4]{a}$) и отрицательный ($-\sqrt[4]{a}$). Например, для числа 160 000 это 20 и -20, так как $20^4 = 160000$ и $(-20)^4 = 160000$.
• Для числа $a = 0$ (задание а) существует только один действительный корень — это 0, так как $0^4 = 0$.

Вывод: Если под "корнем" понимать арифметический корень, то он единственный для всех заданий. Если же рассматривать все действительные корни, то только для числа 0 корень является единственным, а для всех остальных положительных чисел из задания существует по два действительных корня (положительный и отрицательный).

3.33 Существует ли корень шестой степени из числа:

а) 1;
б) 0;
в) -1;
г) 1,2;
д) $-1,8 \cdot 10^6$;
е) $7,2 \cdot 10^{-6}$?

Единственный ли это корень (если он существует)?

Корень $n$-ой степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. В данной задаче рассматривается корень шестой степени, то есть $n=6$. Поскольку показатель корня является четным числом, для действительных чисел существуют следующие правила:

• Если число $a$ положительное ($a > 0$), то существует два действительных корня четной степени $n$: положительный ($\sqrt[n]{a}$) и отрицательный ($-\sqrt[n]{a}$).
• Если число $a$ равно нулю ($a = 0$), то существует один действительный корень четной степени $n$, который равен нулю.
• Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то действительных корней четной степени $n$ не существует, так как любое действительное число в четной степени является неотрицательным.

Применим эти правила к каждому из пунктов задачи.

а) Число, из которого извлекается корень, равно 1. Так как $1 > 0$ и степень корня $n=6$ четная, то существует два действительных корня. Это числа 1 и -1, поскольку $1^6 = 1$ и $(-1)^6 = 1$. Таким образом, корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный (два корня: 1 и -1).

б) Число, из которого извлекается корень, равно 0. Так как степень корня $n=6$ четная, существует только один действительный корень, равный 0, поскольку $0^6 = 0$.

Ответ: существует, единственный (корень равен 0).

в) Число, из которого извлекается корень, равно -1. Так как $-1 < 0$ и степень корня $n=6$ четная, действительного корня шестой степени из отрицательного числа не существует.

Ответ: не существует.

г) Число, из которого извлекается корень, равно 1,2. Так как $1,2 > 0$ и степень корня $n=6$ четная, существует два действительных корня: положительный $\sqrt[6]{1,2}$ и отрицательный $-\sqrt[6]{1,2}$. Корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный.

д) Число, из которого извлекается корень, равно $-1,8 \cdot 10^6$. Это число отрицательное, так как $-1,8 < 0$ и $10^6 > 0$. Поскольку степень корня $n=6$ четная, действительного корня из отрицательного числа не существует.

Ответ: не существует.

е) Число, из которого извлекается корень, равно $7,2 \cdot 10^{-6}$. Это число положительное, так как $7,2 > 0$ и $10^{-6} > 0$. Поскольку степень корня $n=6$ четная, существует два действительных корня: положительный $\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$ и отрицательный $-\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$. Корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный.