Номер 3.32, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.32, страница 102.

3.32 Найдите корень четвёртой степени из числа:

а) 0;

б) 160 000;

в) 62 500 000 000;

г) 0,0001;

д) $1 \cdot 10^{-12}$;

е) $1,6 \cdot 10^{-3}$.

Единственный ли это корень?

а) 0;

Корень четвёртой степени из числа 0 – это число, которое при возведении в четвёртую степень даёт 0. Таким числом является только 0.

$\sqrt[4]{0} = 0$

Ответ: 0.

б) 160 000;

Для нахождения корня представим число 160 000 как произведение чисел, из которых легко извлечь корень четвёртой степени:

$160000 = 16 \cdot 10000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$.

Следовательно, корень четвёртой степени из 160 000 равен 20.

$\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$.

Ответ: 20.

в) 62 500 000 000;

Представим число в стандартном виде и извлечём корень:

$62500000000 = 625 \cdot 10^8 = 5^4 \cdot (10^2)^4 = (5 \cdot 10^2)^4 = 500^4$.

Таким образом, корень четвёртой степени из 62 500 000 000 равен 500.

$\sqrt[4]{62500000000} = \sqrt[4]{500^4} = 500$.

Ответ: 500.

г) 0,0001;

Представим десятичную дробь в виде степени числа 10:

$0.0001 = \frac{1}{10000} = 10^{-4}$.

Тогда корень четвёртой степени из этого числа:

$\sqrt[4]{0.0001} = \sqrt[4]{10^{-4}} = 10^{-1} = 0.1$.

Ответ: 0.1.

д) $1 \cdot 10^{-12}$;

Используем свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

$\sqrt[4]{1 \cdot 10^{-12}} = \sqrt[4]{10^{-12}} = (10^{-12})^{\frac{1}{4}} = 10^{-12/4} = 10^{-3} = 0.001$.

Ответ: $10^{-3}$ (или 0.001).

е) $1.6 \cdot 10^{-3}$.

Чтобы извлечь корень, преобразуем подкоренное выражение так, чтобы показатель степени у числа 10 был кратен 4:

$1.6 \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-4}$.

Теперь извлечём корень:

$\sqrt[4]{1.6 \cdot 10^{-3}} = \sqrt[4]{16 \cdot 10^{-4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10^{-4}} = 2 \cdot 10^{-1} = 0.2$.

Ответ: 0.2.

Единственный ли это корень?

Ответ на этот вопрос зависит от того, что именно понимать под "корнем".

В математике различают понятия арифметического корня и алгебраического корня.

1. Арифметический корень. По определению, арифметическим корнем четвёртой степени из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt[4]{a}$) называют такое неотрицательное число, четвёртая степень которого равна $a$. В этом смысле, для каждого из заданных неотрицательных чисел существует только один арифметический корень. Все найденные выше ответы являются именно такими единственными арифметическими корнями.

2. Алгебраические корни. Если искать все действительные числа $x$, для которых выполняется равенство $x^4 = a$, то:

• Для любого положительного числа $a > 0$ (задания б, в, г, д, е) существует два действительных корня четвёртой степени: положительный ($\sqrt[4]{a}$) и отрицательный ($-\sqrt[4]{a}$). Например, для числа 160 000 это 20 и -20, так как $20^4 = 160000$ и $(-20)^4 = 160000$.
• Для числа $a = 0$ (задание а) существует только один действительный корень — это 0, так как $0^4 = 0$.

Вывод: Если под "корнем" понимать арифметический корень, то он единственный для всех заданий. Если же рассматривать все действительные корни, то только для числа 0 корень является единственным, а для всех остальных положительных чисел из задания существует по два действительных корня (положительный и отрицательный).