Номер 3.37, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.37, страница 105.

$3.37^\circ$

a) Существует ли корень чётной степени: из положительного числа; из нуля; из отрицательного числа?

б) Чему равен корень чётной степени из нуля?

а)

По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. Если степень $n$ является чётным числом (обозначим её как $2k$, где $k$ — натуральное число), то мы ищем число $x$, для которого выполняется равенство $x^{2k} = a$.

Из положительного числа ($a>0$): да, существует. Уравнение $x^{2k} = a$ при $a>0$ всегда имеет два действительных корня: положительный и отрицательный. Это следует из того, что любое ненулевое действительное число, возведенное в чётную степень, даёт положительный результат. Например, для уравнения $x^4 = 16$ корнями являются числа $2$ и $-2$.

Из нуля ($a=0$): да, существует. Уравнение $x^{2k} = 0$ имеет единственный корень $x=0$, так как только ноль в любой положительной степени равен нулю.

Из отрицательного числа ($a<0$): нет, в множестве действительных чисел не существует. Любое действительное число $x$ при возведении в чётную степень $2k$ даёт неотрицательный результат ($x^{2k} \ge 0$). Поскольку $a$ — число отрицательное, уравнение $x^{2k} = a$ не имеет действительных решений.

Ответ: корень чётной степени из положительного числа существует; корень чётной степени из нуля существует; корень чётной степени из отрицательного числа (в множестве действительных чисел) не существует.

б)

Корень чётной степени из нуля, согласно определению, — это такое неотрицательное число $x$, которое при возведении в эту чётную степень (обозначим её $2k$, где $k \in \mathbb{N}$) даёт в результате ноль. То есть, мы ищем решение уравнения $x^{2k} = 0$ при условии $x \ge 0$. Единственным действительным числом, которое удовлетворяет этому уравнению, является $x=0$. Это значение удовлетворяет и условию $x \ge 0$. Следовательно, корень любой чётной степени из нуля равен нулю: $\sqrt[2k]{0} = 0$.

Ответ: Корень чётной степени из нуля равен нулю.