Номер 3.40, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.40, страница 105.

3.40 Покажите с помощью графика функции $y = x^3$, что существует единственный кубический корень из числа:

а) 1;

б) 5;

в) 0;

г) -3.

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^3$ показать, что существует единственный кубический корень из некоторого числа $a$, необходимо рассмотреть графическое решение уравнения $x^3 = a$.

Корень (или корни) этого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения двух графиков: кубической параболы $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Функция $y = x^3$ является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что любое свое значение она принимает ровно один раз. Геометрически это выражается в том, что любая горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Абсцисса этой единственной точки пересечения и есть единственный кубический корень из числа $a$.

Продемонстрируем это для каждого из заданных чисел.

а) 1

Чтобы найти кубический корень из 1, необходимо решить уравнение $x^3 = 1$. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 1$. Горизонтальная прямая $y = 1$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, координаты которой $(1, 1)$. Абсцисса этой точки равна 1. Таким образом, существует только один кубический корень из числа 1, и он равен 1.

Ответ: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке $(1, 1)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 1, который равен 1.

б) 5

Чтобы найти кубический корень из 5, решим уравнение $x^3 = 5$. Рассмотрим пересечение графика $y = x^3$ с горизонтальной прямой $y = 5$. Поскольку функция $y = x^3$ строго возрастает и ее область значений — все действительные числа, прямая $y = 5$ пересечет ее график ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и есть единственный кубический корень из 5, который обозначается как $\sqrt[3]{5}$.

Ответ: Прямая $y=5$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, абсцисса которой равна $\sqrt[3]{5}$, следовательно, существует единственный кубический корень из 5.

в) 0

Чтобы найти кубический корень из 0, решим уравнение $x^3 = 0$. Графически это соответствует поиску точки пересечения графика $y = x^3$ и прямой $y = 0$ (оси Ox). Эти графики имеют только одну общую точку — начало координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Следовательно, существует единственный кубический корень из 0, который равен 0.

Ответ: Прямая $y=0$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке $(0, 0)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 0, который равен 0.

г) -3

Чтобы найти кубический корень из -3, решим уравнение $x^3 = -3$. Рассмотрим пересечение графика $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = -3$. Аналогично предыдущим случаям, из-за свойства строгого возрастания функции $y = x^3$ эта прямая пересечет ее график только в одной точке. Абсцисса этой точки, равная $\sqrt[3]{-3}$, является единственным кубическим корнем из числа -3.

Ответ: Прямая $y=-3$ пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке, абсцисса которой равна $\sqrt[3]{-3}$, следовательно, существует единственный кубический корень из -3.