Номер 3.45, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.4. Корни четной и нечетной степеней - номер 3.45, страница 106.

Условие.

3.45 Верно ли равенство:

а) $\sqrt[4]{16} = -2;$

б) $\sqrt[6]{1} = 1;$

в) $\sqrt[4]{-16} = -2;$

г) $\sqrt[4]{16} = 2?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Равенство $\sqrt[4]{16} = -2$ неверно.
По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$.
В данном случае степень корня $n=4$ — четное число. Значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным числом. Правая часть равенства равна -2, что является отрицательным числом.
Несмотря на то, что $(-2)^4 = 16$, по определению арифметического корня $\sqrt[4]{16}$ — это неотрицательное число 2, так как $2 \ge 0$ и $2^4 = 16$.
Ответ: неверно.

б)

Равенство $\sqrt[6]{1} = 1$ верно.
Степень корня $n=6$ — четное число. Мы ищем неотрицательное число, которое при возведении в 6-ю степень даст 1.
Проверим правую часть равенства: $1^6 = 1$. Число 1 является неотрицательным, и его 6-я степень равна 1, что соответствует определению арифметического корня.
Ответ: верно.

в)

Равенство $\sqrt[4]{-16} = -2$ неверно.
Степень корня $n=4$ — четное число. В области действительных чисел корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение равно -16, что является отрицательным числом.
Следовательно, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не определено в множестве действительных чисел.
Ответ: неверно.

г)

Равенство $\sqrt[4]{16} = 2$ верно.
Степень корня $n=4$ — четное число. Мы ищем неотрицательное число, которое при возведении в 4-ю степень даст 16.
Проверим правую часть равенства: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Число 2 является неотрицательным, и его 4-я степень равна 16, что соответствует определению арифметического корня.
Ответ: верно.