Номер 3.52, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.52, страница 109.

3.52 Чему равен $\sqrt[2m+1]{-a}$, если $a \in \mathbb{R}$?

Для того чтобы найти, чему равен $\sqrt[2m+1]{-a}$, необходимо проанализировать свойства корней нечетной степени, так как показатель корня $2m+1$ является нечетным числом для любого целого $m$.

По определению, корень нечетной степени $n$ из числа $b$, обозначаемый как $\sqrt[n]{b}$, — это такое число $c$, что $c^n = b$. Это определение справедливо для любых действительных чисел $b$.

Рассмотрим ключевое свойство корней нечетной степени: $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ для любого $x \in \mathbb{R}$ и нечетного натурального $n \ge 1$. Докажем это свойство. Пусть $y = -\sqrt[n]{x}$. Возведем обе части равенства в нечетную степень $n$: $y^n = (-\sqrt[n]{x})^n$. Поскольку степень $n$ нечетная, мы можем вынести минус за скобки: $y^n = -(\sqrt[n]{x})^n$. Так как $(\sqrt[n]{x})^n = x$, получаем: $y^n = -x$. По определению корня, если $y^n = -x$, то $y = \sqrt[n]{-x}$. Таким образом, мы показали, что $-\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{-x}$.

В нашем выражении $\sqrt[2m+1]{-a}$ показатель корня $n = 2m+1$ является нечетным. Условие $a \in \mathbb{R}$ означает, что $a$ — любое действительное число. Применим доказанное выше свойство, подставив $n=2m+1$ и $x=a$: $$ \sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a} $$ Это равенство верно для всех действительных значений $a$.

Ответ: $-\sqrt[2m+1]{a}$