Номер 3.53, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.53, страница 109.

3.53 Является ли записью арифметического корня выражение:

а) $ \sqrt[3]{-2}$;

б) $ -\sqrt[4]{3}$;

в) $ \sqrt[3]{(-2)^2}$;

г) $ \sqrt[4]{(-3)^3}$?

Арифметическим корнем $n$-ой степени (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-ая степень которого равна $a$. Запись арифметического корня имеет вид $\sqrt[n]{a}$.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt[n]{a}$ было записью арифметического корня, должны выполняться два ключевых условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.
2. Показатель корня $n$ должен быть натуральным числом, не меньшим 2: $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Кроме того, само значение арифметического корня по определению всегда неотрицательно. Проверим каждое из предложенных выражений на соответствие этому определению.

а) В выражении $\sqrt[3]{-2}$ подкоренное выражение $a = -2$ является отрицательным. Это противоречит определению арифметического корня, которое требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным ($a \ge 0$). Поэтому данное выражение не является записью арифметического корня, хотя корень нечетной степени из отрицательного числа существует в поле вещественных чисел (и он отрицателен).
Ответ: нет.

б) Рассмотрим выражение $-\sqrt[4]{3}$. Часть выражения, $\sqrt[4]{3}$, является арифметическим корнем, так как показатель $n=4 \ge 2$ и подкоренное выражение $a=3 \ge 0$. Однако все выражение $-\sqrt[4]{3}$ представляет собой отрицательное число (число, противоположное положительному $\sqrt[4]{3}$). По определению, арифметический корень — это неотрицательное число. Следовательно, выражение $-\sqrt[4]{3}$ не является записью арифметического корня.
Ответ: нет.

в) В выражении $\sqrt[3]{(-2)^2}$ сначала вычислим подкоренное выражение: $a = (-2)^2 = 4$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{4}$. В этом случае показатель корня $n = 3 \ge 2$, а подкоренное выражение $a = 4 \ge 0$. Оба условия определения арифметического корня выполняются.
Ответ: да.

г) В выражении $\sqrt[4]{(-3)^3}$ вычислим подкоренное выражение: $a = (-3)^3 = -27$. Выражение принимает вид $\sqrt[4]{-27}$. Здесь подкоренное выражение $a = -27$ является отрицательным. Это нарушает условие $a \ge 0$ из определения арифметического корня. (Более того, корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел).
Ответ: нет.